Математические байки

https://youtu.be/Yy7Q8IWNfHM в качестве картинок по выходным — продолжение темы разбиений на домино, теоремы о полярном круге для ацтекского брильянта и проч.

Новогоднее видео от Mathologer про разбиения на доминошки:

Поэтому производная полной массы отрезаемой дуги будет равна нулю — то есть сама эта масса постоянна, не зависит от выбора касательной к внутренней окружности. А этого-то мы и хотели!

Давайте тогда возьмём в качестве линейной плотности rho(x)=1/d(x), где d(x) — длина касательной к внутренней окружности из точки x наружной. Тогда « в первом приближении » при вращении касательной масса отрезаемой не будет меняться. Действительно, скорости точек A и B соотносятся как KA:KB, а плотности в этих точках как (1/KA):(1/KB), значит, сколько мы прибавляем за счёт движения A, столько же и теряем за счёт движения B.

Посмотрим, с какими скоростями « бегут » точки A и B (на этой картинке, или F и G на картинке выше) по внешней окружности. Несложно видеть, что отношение этих скоростей как раз равно отношению KA/KB отрезков, на которые касательная делится точкой касания с внутренней окружностью. Потому что угол, на который мы поворачиваем, общий; дальше есть длина отрезка — как раз то, что нам нужно — и угол, под которым хорда врезается в окружность — но эти углы с двух сторон хорды одинаковы!

(Кадр из лекции Протасова на ММО, http://www.mathnet.ru/present19870 )

А доказывается она явной конструкцией: эту плотность можно найти явно. А именно — чтобы доказать, что функция "масса отрезаемой дуги" постоянна, нужно доказать, что её производная (при движении точки касания по внутренней окружности) равна нулю. То есть нам нужно проверить, что масса дуг FE и GH на картинке выше одинакова хотя бы в первом порядке, когда касательные очень близки. А две "бесконечно близкие" касательные пересекаются в точке касания — поэтому "почти что" можно считать, что касательная "проворачивается" вокруг точки касания.

И действительно, если эту лемму доказать, то понятно, какой должен быть критерий замыкания: если отсекаемая масса составляет (p/q) от полной массы внешней окружности, то для любой начальной точки мы замкнёмся через q шагов, сделав p оборотов, а если они несоизмеримы, то не замкнёмся никогда.

И очень красивое доказательство, — его можно прочитать в статье Протасова в "Кванте" (http://kvant.mccme.ru/pdf/2014/2014-56.pdf ), но ещё и вот тут есть видеозапись (http://www.mathnet.ru/present19870 ) его лекции на закрытии ММО, и там же ( http://www.mathnet.ru:8080/PresentFiles/19870/protasov_poncelet.pdf ) выложены слайды от неё — так вот, очень красивое доказательство обобщает это рассуждение на случай общих окружностей с помощью инвариантных мер. Вот его ключевой момент: Лемма. На внешней окружности можно устроить такое распределение масс с некоторой линейной плотностью \rho(x), что полная масса дуги, отрезаемой любой касательной к внутренней окружности, всегда одна и та же. Иными словами — представим себе, что внешняя окружность сделана из проволоки, причём переменной толщины. Так что линейная плотность у неё в одних точках одна, а в других другая. А внутренняя окружность — вкопанный гладкий столб. И мы по-разному отрубаем дугу внешней окружности секущей, проходящей впритирку к столбу. Так вот — можно так подобрать эту переменную толщину проволоки (и, соответственно, переменную линейную плотность), что как бы мы ни отсекали дугу касательной к столбу, её полная масса будет одной и той же.

Но — а что делать, если окружности не концентрические?

(И если он равен 2π*p/q, то "звёздочка" замыкается через q шагов, сделав p оборотов.)

Вот если бы окружности были концентрическими, то всё было бы понятно: чтобы "звёздочка" замкнулась, нужно, чтобы отсекаемый одним её звеном угол был бы соизмерим с 2π:

Давайте я добавлю пару слов про теорему Понселе; кажется, формулировку её я знал ещё то ли со школы, то ли с младших курсов универа, — но вот доказательство с мерой (первое из упоминающихся выше) узнал как раз от Протасова, из его лекции на олимпиаде Шарыгина (сразу после ЛШСМ-2018). Формулируется она очень просто — пусть у нас есть две окружности, одна внутри другой. Мы берём точку на внешней окружности и начинаем из неё строить "звёздочку", каждый раз проводя касательную к внутренней окружности и продлевая её до второго пересечения с внешней. Теорема Понселе утверждает, что если такая цепочка замкнётся для какой-то одной начальной точки, то она замкнётся для любой другой (и через такое же число шагов). Более того, то же самое верно и если вместо окружностей будут и просто коники ( = кривые второго порядка).

В третьих, есть «бильярдная» точка зрения на теорему Понселе — можно начать с лекции 28 книги «Математический дивертисмент» Табачникова и Фукса (и, заодно, можно заглянуть в лекцию 29 про теорему Понселе и другие теоремы о замыкании)

Во-первых, напомним про лекцию В.Ю.Протасова «Теорема Понселе — яркая и загадочная» ( https://t.me/cme_channel/477 ) и его статью «Два века теоремы Понселе» в Кванте-2014 ( http://kvant.mccme.ru/pdf/2014/2014-56.pdf ). Во-вторых, на менее элементарном уровне есть замечательное рассуждение, связывающая теорему Понселе с эллиптическими кривыми. Про это есть статья Гриффитса и Харриса ( http://publications.ias.edu/node/221 ). Но можно, например, посмотреть лекции Г.Б.Шабата на ЛШСМ (http://www.mathnet.ru/present9370 и далее).

картинка — пусть будет поводом поговорить немного про теорему Понселе

Меня он учил на 1-м курсе НМУ...