Математические байки

карта из недавно вышедшей «Математической прогулки с осмотром особенностей» Э.Жиса (пер. Е.Ю.Смирнов) «Эта книга видного французского ученого — неформальное введение (в жанре «прогулки») в несколько разделов современной математики. Все темы, затронутые в книге, в большей или меньшей степени связаны с теорией особенностей. Читателю, прошедшему эту прогулку вместе с автором, она поможет выбрать раздел математики, в котором он будет специализироваться, — выбор предлагается широкий.» https://biblio.mccme.ru/node/76199

Полгода назад я тут, по случаю лекции Этьена Жиса в "математических вечерах ЛШСМ", вспоминал его книгу "A singular mathematical promenade" — теорему Концевича о билете в метро, комбинаторную задачу с ответом из Плутарха и доказательство Гаусса основной теоремы алгебры. А сейчас вышел её перевод на русский — и за это огромное спасибо выполнившему его Евгению Смирнову!

А вот тут мы его (и разбиения, и треугольные доминошки, и асимптотику количества) уже обсуждали: https://t.me/mathtabletalks/733

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте. А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

Случайное замощение «ацтекского брильянта» доминошками (доминошки покрашены в 4 цвета — по тому, как в них расположена черная клетка)

Давайте я чуть-чуть про ацтекский бриллиант добавлю: вот тут красивая картинка и пара ссылок —

Ну и вот тут мой собственный рассказ на малом ШАДе об асимптотической комбинаторике — о вопросах вида "сколько есть таких больших комбинаторных объектов" и "как такой типичный объект выглядит", и об ацтекском бриллианте в том числе: https://events.yandex.ru/events/m/mshad14?openTalkVideo=640-28 .

В общем — очень хорошее видео; хоть оно и длинное, но я очень советую его посмотреть (промотав начальную часть, если она слишком простая).

(И вот этого рассуждения я раньше не знал.)

И под конец — поведение уголков, когда мы начинаем двигаться вместе с ними, стабилизируется в режим "замораживания":

А в этом видео — по сути, это же рассуждение проведено через движущиеся доминошки (а стрелочки на них это, на самом деле, направление градиента функции высоты) :

И это один из результатов, которым посвящена брошюра Е. Ю. Смирнова, "Три взгляда на ацтекский бриллиант" (https://www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-aztec.pdf ); вот тут одно из доказательств — через функцию высоты:

Число разбиений на доминошки у ацтекского бриллианта порядка n равно 2^{1+2+...+n}:

А вот тут — мой любимый ацтекский бриллиант, количество его разбиений на доминошки и "теорема о полярном круге": замороженность разбиений за ним

(Правда, мне чуть больше по душе вариант расстановки, когда бывают все варианты, 1,-1,i,-i, потому что тогда появляется дискретный оператор комплексного дифференцирования, и становится понятно, откуда в дискретной задаче про доминошки — хотя бы в принципе — связь с комплексным анализом.)

Вот кадр с детерминантной формулой — число способов разбивать на доминошки это определитель матрицы смежности между чёрными и белыми вершинами, только соседние элементы там бывают не только 1, но и i — чтобы их произведение компенсировало возникающий знак перестановки:

Вот кадр для числа для доски 8x8 — и можно это сравнить с названием лекции С. К. Смирнова в ЛШСМ-2017 (https://www.mccme.ru/dubna/2017/courses/smirnov-lect.html )