MathPortal

سوال: آیا امکان دارد فضایی باشد که نسبت به هر نوع معادله ای بسته باشد؟ جواب : ایده‌ای که گفتی خیلی نزدیک به یک سؤال عمیق در ریاضیات است، اما جواب کوتاهش این است: نه، «فضایی که نسبت به هر نوع معادله‌ای بسته باشد» به معنای کلی و مطلق وجود ندارد.و دلیلش خیلی بنیادی است. 1) اول یک اصلاح مهم: «بسته بودن» یعنی چه؟ در اعداد مختلط Complex Analysis ما می‌گوییم: برای هر چندجمله‌ای غیرثابت، ریشه داریم این یعنی ℂ نسبت به معادلات جبری بسته است (قضیه بنیادی جبر) اما این فقط یک نوع خاص از معادله است، نه همهٔ معادلات ممکن. 2) چرا «بسته بودن نسبت به همه معادلات» غیرممکن است؟ چون همیشه می‌توان معادله‌ای ساخت که از سیستم عددی تو فراتر برود یا حتی تناقض ایجاد کند. مثال ساده: فرض کن هر مجموعه‌ای از اعداد را کامل فرض کنیم. همیشه می‌توان این معادله را ساخت: x€S(ایکس عضوی از اس نیست) که در آن S «کل فضای عددی تو» است. این نوع ساختارها باعث می‌شوند هیچ مجموعه‌ای نتواند برای همه چیز بسته باشد. 3) مشکل عمیق‌تر: خودارجاعی و «گسترش بی‌نهایت» در منطق ریاضی نشان داده می‌شود که: هر سیستم عددی قوی می‌تواند معادلاتی داشته باشد که آن سیستم را ناکافی کند این به نتایجی شبیه ایده‌های زیر مربوط است: قضایای ناتمامیت Gödel's Incompleteness Theorems نتیجه‌ی شهودی: هیچ سیستم ریاضی واحدی نمی‌تواند هم «کامل» باشد و هم «بسته برای همه چیز». 4) چرا ℂ هنوز مهم است؟ اعداد مختلط: برای همه چندجمله‌ای‌ها کامل‌اند ساختار بسیار پایدار دارند پایهٔ تحلیل مختلط و فیزیک هستند اما حتی آن‌ها هم نمی‌توانند: معادلات نمایی، لگاریتمی، یا دیفرانسیلی را «همیشه داخل خودشان حل کنند» 5) جمع‌بندی خیلی ساده یک فضای «بسته برای همه معادلات» وجود ندارد ❌ فقط می‌توان فضاهایی داشت که نسبت به یک نوع خاص از معادله بسته‌اند ✔ هر چه فضا را بزرگ‌تر کنی، معادلات جدیدی پیدا می‌شوند که از آن خارج می‌زنند 💎کانال پورتال ریاضیات 🆔 @MathPortal

سوال : آیا میدان های بزرگتر و گسترده تری از میدان اعداد مختلط وجود دارد؟👇 عددهای مختلط Complex Analysis (ℂ) یک میدان کامل و «بستهٔ جبری» هستند؛ یعنی هر چندجمله‌ای روی آن‌ها ریشه دارد. به همین دلیل از نظر حل معادلات جبری، دیگر چیزی کم ندارند. 1) میدان‌های بزرگ‌تر از ℂ می‌توان میدان‌هایی ساخت که ℂ را در خود دارند، مثل: ℂ(x): اعداد مختلط به‌اضافهٔ یک متغیر جدید (توابع کسری) میدان‌های توابع (Function Fields) گسترش‌های نامتناهی و بسیار بزرگ‌تر از ℂ این‌ها از نظر «اندازه» (تعداد عناصر) یا پیچیدگی، از ℂ بزرگ‌ترند. 2) ساختارهایی شبیه عدد ولی نه دقیقاً میدان Quaternions (چهارگان‌ها): بزرگ‌تر از ℂ هستند (۴ بعدی)، اما ضربشان جابجایی‌پذیر نیست، پس میدان نیستند. Octonions: ۸ بعدی، حتی قوانین جبرشان ضعیف‌تر می‌شود. 3) ساختارهای خیلی بزرگ‌تر و عجیب‌تر «اعداد سورئال» Surreal Numbers: شامل تقریباً همهٔ اعداد معمولی و بی‌نهایت‌ها هستند و از نظر اندازه بسیار بزرگ‌ترند. اعداد مختلط Complex Analysis از نظر «معادلات چندجمله‌ای معمولی» کامل هستند، یعنی: هر چندجمله‌ای با ضرایب مختلط، حداقل یک ریشه در ℂ دارد.این همان قضیهٔ بنیادی جبر است. اما اگر از این چارچوب خارج شویم، بله، معادلاتی داریم که جوابشان در ℂ نیست. 1) معادلاتی که در ℂ جواب ندارند (اگر تعریف را عوض کنیم) اگر نوع معادله را گسترده‌تر کنیم (نه فقط چندجمله‌ای‌ها)، مثال‌های ساده: ✔ مثال ۱: x^2+1=0 در ℂ جواب دارد: x=i,−i ✔ مثال ۲ (خارج از ℂ): x^2+2=0 در ℂ هم جواب دارد (چون √−2 داریم)، پس هنوز داخل ℂ است. ✔ مثال واقعیِ «خارج از ℂ» چیست؟ اگر بخواهیم معادله‌ای داشته باشیم که هیچ جوابی در ℂ نداشته باشد، باید از ساختار دیگری استفاده کنیم، مثلاً: ✔ معادلاتی که ℂ را «کامل» فرض نمی‌کنند مثلاً اگر بخواهیم: معادلاتی با شرط‌های اضافی (مثل پیوستگی، ترتیب، یا محدودیت هندسی) یا معادلات در ساختارهایی که ℂ در آن بسته نیست. 2) مثال مهم: خروج از ℂ با ساختارهای بزرگ‌تر اگر یک معادله طوری تعریف شود که جوابش نیاز به چیزی بزرگ‌تر از اعداد مختلط داشته باشد: مثال مفهومی: در ساختارهای بزرگ‌تر مثل Surreal Numbers ممکن است معادلاتی حل شوند که در ℂ قابل بیان نیستند. 3) نکته مهم ریاضی (خیلی کلیدی) ℂ برای همه چندجمله‌ای‌ها کامل است اما برای «همه معادلات ممکن در ریاضی» کامل نیست یعنی: اگر معادله فقط چندجمله‌ای باشد → همیشه در ℂ جواب دارد اگر معادله عمومی‌تر باشد → ممکن است خارج از ℂ جواب بخواهد یا اصلاً جواب نداشته باشد جمع‌بندی ساده: در دنیای چندجمله‌ای‌ها: ❌ خارج از ℂ نداریم (همه جواب دارند) در دنیای معادلات کلی‌تر: ✔ بله، ممکن است جواب‌ها خارج از ℂ باشند یا اصلاً تعریف نشوند. برای اینکه واقعاً «از اعداد مختلط خارج شویم» باید از معادلات چندجمله‌ای ساده فراتر برویم و سراغ معادلاتی برویم که اصلاً در ℂ تعریف‌پذیر یا بسته نیستند. یک مثال استاندارد و ساده: مثال 1: معادله با جواب خارج از ℂ e^x=0 چرا در اعداد مختلط جواب ندارد؟ اگر x∈C باشد، آنگاه: تابع نمایی Exponential Function هیچ‌وقت صفر نمی‌شود. برای هر عدد مختلط داریم: e^x#0 حتی در اعداد مختلط: e^x همیشه یک عدد غیرصفر است (روی دایره یا رشد/کاهش نمایی در صفحه مختلط( نتیجه: e^x=0 هیچ جوابی در Cندارد. مثال 2: معادله‌ای که جوابش «باید بیرون از ℂ ساخته شود» x^x=-1 در ℂ: تعریف توان مختلط چندارزشی است اما هیچ مقداری از x x به صورت استاندارد به −1 نمی‌رسد پس اگر بخواهیم این را حل کنیم، مجبور می‌شویم: شاخه‌های چندارزشی (multi-valued functions) یا ساختارهای گسترش‌یافته مثل سطوح ریمان را وارد کنیم. مثال 3 (خیلی مهم‌تر از همه) معادله‌ای که اصلاً در ℂ «قفل» می‌شود: ∣x∣=x+1 اگر x∈C باشد: سمت چپ عدد حقیقیِ غیرمنفی است سمت راست می‌تواند مختلط باشد این معادله اصلاً در ℂ معنی استاندارد و بسته ندارد. نکته‌ی عمیق (خیلی مهم) اعداد مختلط Complex Analysis برای این نوع معادلات ساخته نشده‌اند؛ آنها برای حل معادلات جبری (polynomial) کامل‌اند، نه برای همه توابع. برای معادلات کلی‌تر، باید وارد ساختارهای بزرگ‌تر شویم مثل: Surreal Numbers یا فضاهای تابعی یا ساختارهای تحلیلی پیشرفته‌تر جمع‌بندی ساده: ℂ برای چندجمله‌ای‌ها «کامل» است اما برای توابع نمایی، قدرمطلق، لگاریتم و… ممکن است: اصلاً جواب نداشته باشد یا نیاز به ساختار بزرگ‌تر از ℂ داشته باشد. 💎کانال پورتال ریاضیات 🆔 @MathPortal

Mohammad Arashi Professor of Statistics at Ferdowsi University of Mashhad فرصت پژوهش به عنوان محقق پسادکتری در رشته آمار و علم داده‌ها دانشگاه فردوسی مشهد در راستای اجرای طرح جهش دانشگاه فردوسی مشهد، فرصت ارزشمندی برای جذب یک پژوهشگر پسادکتری در گروه آمار، با حمایت مالی مناسب از سوی دانشگاه فردوسی مشهد، فراهم شده است. از دانش‌آموختگان دکتری آمار که طی سه سال اخیر فارغ‌التحصیل شده‌ و علاقه‌مند به پژوهش در زمینه‌های مدل‌سازی داده‌های بابعدبالا، شبکه‌های گرافیکی و تحلیل داده‌های طولی هستند، دعوت می‌شود رزومه خود را برای بررسی، با درج عنوان «پسادکتری آمار دانشگاه فردوسی مشهد» در موضوع ایمیل، به نشانی زیر ارسال کنند. m_arashi_stat@yahoo.com باتشکر 💎کانال پورتال ریاضیات 🆔 @MathPortal

توضیحات تکمیلی آقای دکتر ملک 👇 ثابت خینچین (Khinchin's constant) یک ثابت ریاضی است که در نظریهٔ Number Theory و به‌ویژه در مطالعهٔ continued fractions ظاهر می‌شود. مقدار تقریبی آن برابر است با: ویژگی شگفت‌انگیز این ثابت این است که برای تقریباً همهٔ اعداد حقیقی (به جز مجموعه‌ای با اندازهٔ صفر از نظر نظریهٔ اندازه)، اگر عدد را به صورت کسر مسلسل بنویسیم: میانگین هندسی جمله‌های � به ثابت خینچین همگرا می‌شود: استثناها این نتیجه برای برخی اعداد مشهور برقرار نیست، از جمله: Pi (هنوز مشخص نیست که برقرار است یا نه، زیرا رفتار کسر مسلسل آن به طور کامل اثبات نشده است.) Euler's number اعداد گویا، چون کسر مسلسل آن‌ها متناهی است. فرمول دقیق ثابت خینچین را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب بی‌نهایت نیز تعریف کرد: این ثابت به افتخار ریاضی‌دان Aleksandr Khinchin نام‌گذاری شده است که در سال ۱۹۳۴ این نتیجهٔ بنیادی را اثبات کرد.

دعوت به پژوهش در دوره پسادکتری توسط آقای دکتر مصلحیان👇👇👇 از پژوهشگران گرامی ایرانیِ مستعد و پرتلاش، ترجیحا زیر ۳۸ سال، که از تاریخ دفاع رساله دکتری آنان بیش از پنج سال نگذشته باشد و دارای کارشناسی در رشته «ریاضیات و کاربردها» هستند و در دوره کارشناسی ارشد یا دکتری، چندین درس در حوزه های «آنالیز تابعی و نظریه عملگرها» با موفقیت گذرانده باشند، دعوت می‌شود در صورت علاقه‌مندی به انجام پژوهش تحت نظارت اینجانب، در زمینه‌ Operator Algebras (C*-algebras, von Neumann algebras, and Hilbert C*-modules) درخواست خود را ارسال نمایند. خواهشمندم متقاضیان گرامی رزومه کامل علمی خود (شامل سوابق تحصیلی، فعالیت‌های پژوهشی و فهرست همه مقالات) به همراه نمرات خود در دروس «مبانی علوم ریاضی، ریاضی عمومی ۱، مبانی آنالیز ریاضی، آنالیز ریاضی ۱، توپولوژی» از دوره کارشناسی را به نشانی زیر ارسال فرمایند: moslehian@yahoo.com با تشکر 💎کانال پورتال ریاضیات 🆔 @MathPortal

در دهه ۱۹۳۰ ریاضیدان روسی الکساندر خینچین به یک واقعیت شگفت انگیز پی برد. وقتی بیشتر اعداد حقیقی به صورت کسرهای پیوسته نوشته شوند ، میانگین هندسی جمله های آنها ، به همان مقدار نزدیک می شود: ....۲٫۶۸۵۴۵۲۰۰۱۰ این عدد به نام « ثابت خینچین» شناخته میشود. 💎کانال پورتال ریاضیات 🆔 @MathPortal

یک ایده دیگر جناب سلطانپور : ایجاد کارگروه‌هایی با علاقه مندان به تألیف و ترجمه یا ویرایشگری کتابهای ریاضی جهت بررسی کتب ریاضی درسی مدارس کشورهای مطرح جهان از اول ابتدایی تا آخر دبیرستان و حتی بررسی سرفصل های دروس دانشگاهی در رشته های تخصصی ریاضیات کاربردی ، محض ، آموزشی و ‌.‌..

احسنت جناب سلطان پور عزیز . خیلی هم عالی .ولی هدف من ایجاد پویایی در ساحت علمی کشور بالاخص انجمن ریاضی ایران و خط شکنی برای اجماع در حرکت به سمت تعالی با جمع آوری ایده های خام است. هدف از تشکیل گروههای بزرگ علمی نه برای فعالیت علمی بلکه در اصل برای اطلاع رسانی بین فارغ‌التحصیلان ریاضی در سطح کشور از برنامه های انجمن و بعد از آن تشکیل گروه‌های تخصصی در زیر شاخه های ریاضیات با سرپرستی اساتید شاخص هر زیر شاخه و همچنین ایجاد حس تعلق و احترام به فارغ التحصیلان است. ایده ها زیاد ولی خام هستند و نیازمند چکش کاری که در نهایت یا تایید و یا رد میشوند

جوابیه دوست عزیزم جناب آقای سلطانپور در خصوص ایده های بنده برای انجمن ریاضی کشور👇👇👇 با سلام و احترام خدمت همه دوستان عزیز و گرامی مخصوصا جناب آقای جعفری اقدم عزیز از حسن نیت شما بابت این نوشته ها باید سپاسگزاری کرد، ولی اجازه دهید من ایراداتی که به نظرم به نوشته های شما وارد است را مطرح نمایم: در بند اول شما فرمودید ثبت اسامی و مشخصات کلیه فارغ التحصیلان ، این کار در عمل ممکن است همانند پایگاه داده وزارت علوم و ... ولی مشکل ماجرا این است که صرف داشتن یک لیست بلند بالا به هیچ وجه به معنای بالا رفتن مشارکت نیست، جناب جعفری عزیز فراموش نکنید که ریاضیات و علم با آمار و ارقام و لیست بلند بالا پیش نمی رود بلکه ارتباط موثر و همکاری های هدفمند پیش می رود. در بند دوم نوشته اید که یک ابر گروه توسط انجمن ایجاد گردد، این گروه دقیقا باید چه کار انجام دهد؟ صرف تجمع افراد با سطوح مختلف نه تنها کارآمدی خاصی ندارد بلکه یک آشفته بازاری ایجاد می کند که زیان های آن بیشتر از منافع آن است، گروه های علمی پژوهشی در دنیای آکادمیک واقعی متشکل از افراد همسان 3 الی 5 نفره است که بیشترین کارامدی و بازدهی را دارند، ریاضیات جدی جای همایش های عمومی و نمایش نیست، بلکه جای کارگاه‌های تخصصی محدود است چنین ابرگروهی فقط به یک کانال تلگرامی شلوغ تبدیل می‌شود که در آن سوالات کنکوری با مسائل حل‌نشدهٔ ریاضی مخلوط می‌شود. در بند سوم نوشته اید که بزرگان به عنوان سرگروه و سرپرست تعیین شوند، واقعیت ماجرا این است که جناب جعفری عزیز واقعیت های فرهنگی آکادمیک با ذهنیات شما بسیار متفاوت است، اساتید برجسته ای که شما می فرمایید اغلب گرفتار پژوهش، بیماری، سن بالا و بازنشستگی و برنامه ها و مطالعات شخصی خودشان هستند. سپردن مسئولیت مدیریت و گردآوری صدها نفر به آن‌ها، نه به نفع آن‌هاست و نه به نفع گروه. و یک واقعیت این است که ریاضیات و علم سلسله‌مراتبی و ارباب و نوکری نیست؛ یک استاد جوان ممکن است در یک شاخهٔ خاص از یک استاد پیشکسوت جلوتر باشد. علم با شاگردخلفی و ارادت‌های سلسله‌وار پیش نمی‌رود، بلکه با شایسته سالاری پیش می‌رود. در بند چهارم فرمودید که بازنویسی کتب: این یک پروژهٔ سنگین برنامه ریزی درسی و آموزشی است، نه یک پروژه پژوهشی جمعی. بازنویسی کتاب درسی نیازمند تیم‌های محدود مولف متخصص (حداکثر ۳ تا ۴ نفر) با تجربه تدریس دست اول و تسلط بر روان‌شناسی یادگیری است. اگر ۵۰ نفر بخواهند یک کتاب آنالیز را بازنویسی کنند، حاصل کار یک «تالیف تکه‌تکه» و بی‌روحیه خواهد بود که وحدت رویه ندارد. در ضمن همین الان کتب درسی بسیار زیادی به زبان انگلیسی موجود است. در بند پنجم که درمورد تشکیل کارگروه هاست نیز که به نوعی تکرار بیهیات است. بند ششم که در مورد مسائل باز و ارتباط با صنعت است، در این مورد باید اشاره کنم که در ریاضیات نمی توان حل یک مساله باز را به یک کارگروه سپرد، حل چنین مسائلی به انزوای فکری یک ریاضی دان عاشق یا نهایتا همکاری دو ، سه نفره از ریاضی دانان عاشق اتفاق می افتد، مثلا برای اثبات حدس چهار از مجموعه حدس های ویل که مربوط به حدس ریمان بود، پیر دلین بعد از سالها تلاش در انزوا آنرا اثبات کرد، یا گروتندیک برای اثبات سه حدس اول با دو سه نفر از ریاضی دانانی چون دیودونه، و سر همکاری کرد. پس این که یک کارگروه برای حل یک مساله باز تشکیل شود شبیه یک جلسه اداری است،  تلاش برای حل یک مساله باز با یک ابرگروه ۵۰۰۰ نفره، مانند این است که بخواهیم با ۱۰۰۰ ماشین‌تحریر، یک رمان پرفروش جهانی بنویسیم! کیفیت ریاضی به تعداد نیرو نیست، به قدرت شهود و تمرکز فردی است. همچنین، قرارداد با صنعت کاملاً تخصصی و محرمانه است. صنعت به دنبال حل مسئلهٔ خاص خود با ضرب‌الاجل معین است، نه اینکه یک ابرگروه تشکیل دهد. همچنین جناب جعفری صرفاً دعوت‌نامهٔ یک انجمن برای ثبت‌نام، به یک فارغ‌التحصیل بیکار یا شاغل در صنعت، حس مفید بودن نمی‌دهد. حس مفید بودن زمانی ایجاد می‌شود که پروژه مشخص، بودجه معین و خروجی ملموس برای آن تعریف شود. دعوت صرف، تبدیل به اسپم اداری می‌شود و کسی را از فراموشی نجات نمی‌دهد. به قول معروف: «نه هرکه چهره برافروخت دلبری داند». با احترام

وبسایت پورتال ریاضیات دوستان عزیزم ،مایلم به عرض شما دوستداران ریاضیات برسانم که در این وبسایت که در دامنه دات آی آر ثبت گردیده ، آخرین اطلاعات در خصوص شاخه های مختلف علم ریاضیات به همراه کتابها،مقالات ،پژوهش ها و سوالات مهم را به اشتراک خواهم گذاشت.امید است با نظرات سازنده خود بنده را در این امر مهم یاری فرمائید و به دوستان و علاقه مندان علم ریاضیات اطلاع رسانی فرمایید.با تشکر آدرس وبسایت پورتال ریاضیات👇👇👇 www.mathportal.ir همچنین علاوه بر وبسایت موردنظر کانال پورتال ریاضیات با آی دی MathPortal@ در تلگرام ، اینستاگرام ، ایتا، ایکس ، سروش،روبیکا،آی گپ ،پیام رسان گپ و ویراستی نیز فعال می‌باشد

ایده های بنده رو در یکبار دیگر در صورت صلاحدید مطالعه بفرمایید. با کمال تشکر

نظرتون برای ایجاد یک گروه پژوهشی توسط انجمن ریاضی در خصوص اقدام و سعی و جمع آوری مطلب در جهت حل این سوالات توسط اساتید ریاضی ، دانشجویان ریاضی و علاقه مندان چیه؟ این یکی از ایده های من برای پویایی انجمن ریاضی وطن عزیزمون ایران زمینه

مسائل ریاضی هزاره چیست؟ مسائل ریاضی هزاره (Millennium Prize Problems) یکی از معروف‌ترین پروژه‌های ریاضی مدرن هستن. در سال ۲۰۰۰، مؤسسهٔ Clay Mathematics Institute هفت مسئلهٔ حل‌نشدهٔ خیلی مهم ریاضی رو انتخاب کرد و برایr حل هر کدوم ۱ میلیون دلار جایزه گذاشت. لیست مسائل هزاره: 1. پی در مقابل ان پی(P در مقابل NP) : آیا هر مسئله‌ ای که جوابش رو سریع بشه چک کرد، سریع هم میشه پیدا کرد؟ (خیلی مهم برای کامپیوتر و رمزنگاری) 2 .حدس هاج (Hodge Conjecture) ارتباط بین هندسه جبری و توپولوژی 3.حدس پوانکاره (Poincaré Conjecture) | حل شده (۲۰۰۳) | توسط گریگوری پرلمن (روسی). او جایزه رو نپذیرفت. 4.فرضیه ریمان (Riemann Hypothesis) یکی از معروف‌ترین مسائل تاریخ ریاضی. دربارهٔ توزیع اعداد اول. 5.وجود و شکاف جرم در نظریه یانگ-میلز : مسئله‌ای در فیزیک ریاضی و نظریه میدان‌های کوانتومی 6. وجود و همواری معادلات ناویر-استوکس : مربوط به معادلات جریان سیالات (هوا، آب و...) 7. حدس برچ و سوینرتون-دایِر :ارتباط بین هندسه جبری و نظریه اعداد | نکات مهم: - تا امروز (۲۰۲۶) فقط حدس پوانکاره حل شده. - بقیه شش مسئله هنوز باز هستن و حل هر کدوم می‌تونه تأثیر عظیمی روی ریاضیات، فیزیک و علوم کامپیوتر بذاره. - این مسائل رو به عنوان "معادلات هزاره" هم می‌شناسن چون انتخابشون برای شروع قرن ۲۱ بود. ### کدامشون معروف‌تره؟ - فرضیه ریمان و P vs NP معمولاً معروف‌ترین و پرجست‌وجوترین‌هاشون هستن. - پرلمن با حل پوانکاره واقعاً تاریخ‌ساز شد، ولی جایزه رو نگرفت چون با سیستم جایزه و توجه رسانه‌ای مشکل داشت. 💎کانال پورتال ریاضیات 🆔 @MathPortal

نام فیلم: Gifted 2017 خلاصه داستان : با استعداد ، فیلمی به کارگردانی مارک وب است که در سال ۲۰۱۷ منتشر شد. در خلاصه داستان فیلم آمده است ، فرانک مردیست تنها که تلاش می‌کند تا خواهرزاده‌ی باهوش خود را در یک محیط آرام بزرگ کرده و به سمت پیشرفت سوق دهد. اما این موضوع باعث درگیری بر سر حضا.نت بچه میان فرانک و مادرش می‌شود و…

📚 قضیهٔ کانتور–برنشتاین–شرودر یکی از زیباترین نتایج نظریهٔ مجموعه‌ها می‌گوید: اگر بتوان عناصر مجموعهٔ A را به‌طور یک‌به‌یک در مجموعهٔ B جا داد، و هم‌زمان عناصر B را نیز به‌طور یک‌به‌یک در A قرار داد، آنگاه این دو مجموعه دقیقاً هم‌اندازه‌اند؛ یعنی میان آن‌ها تناظری یک‌به‌یک وجود دارد. این قضیه که به نام کانتور، برنشتاین و شرودر شناخته می‌شود، ابزاری بنیادین برای مقایسهٔ اندازهٔ مجموعه‌های نامتناهی است و نشان می‌دهد که گاهی برای اثبات برابری دو بی‌نهایت، کافی است هر کدام را در دیگری جای دهیم. قضیه‌ای ساده در بیان، اما عمیق در معنا؛ پلی میان شهود و شگفتی‌های جهان بی‌نهایت

📚 قضیهٔ کانتور–برنشتاین–شرودر یکی از زیباترین نتایج نظریهٔ مجموعه‌ها می‌گوید: اگر بتوان عناصر مجموعهٔ A را به‌طور یک‌به‌یک در مجموعهٔ B جا داد، و هم‌زمان عناصر B را نیز به‌طور یک‌به‌یک در A قرار داد، آنگاه این دو مجموعه دقیقاً هم‌اندازه‌اند؛ یعنی میان آن‌ها تناظری یک‌به‌یک وجود دارد. این قضیه که به نام کانتور، برنشتاین و شرودر شناخته می‌شود، ابزاری بنیادین برای مقایسهٔ اندازهٔ مجموعه‌های نامتناهی است و نشان می‌دهد که گاهی برای اثبات برابری دو بی‌نهایت، کافی است هر کدام را در دیگری جای دهیم. قضیه‌ای ساده در بیان، اما عمیق در معنا؛ پلی میان شهود و شگفتی‌های جهان بی‌نهایت.

📜 در چنین روزی؛ 20 ژوئن 1877 در 20 ژوئن 1877، گئورگ کانتور در نامه‌ای به ریچارد ددکیند از کشفی خبر داد که نگاه ریاضیات به بی‌نهایت را برای همیشه دگرگون کرد. او نشان داد که می‌توان میان نقاط یک پاره‌خط و تمام نقاط یک مربع، تناظری یک‌به‌یک برقرار کرد؛ نتیجه‌ای شگفت‌انگیز که بیان می‌کرد "تعداد" نقاط این دو مجموعه، با وجود تفاوت در بُعد، یکسان است. شگفت‌تر آنکه کانتور تنها سه سال پیش‌تر چنین امکانی را "به‌وضوح ناممکن" می‌دانست. اما همین تغییر دیدگاه، سرآغاز انقلابی در فهم بی‌نهایت و مفهوم "قدرت مجموعه‌ها" شد؛ انقلابی که بعدها در قالب قضیهٔ کانتور–برنشتاین–شرودر صورت‌بندی دقیق‌تری یافت. گاهی بزرگ‌ترین پیشرفت‌های ریاضی، از به چالش کشیدن بدیهی‌ترین باورها آغاز می‌شوند... منبع : کانال ریاضی دانشگاه الزهرا

بولتن انجمن ریاضی ایران با رعایت کامل اصول علمی در رده Q1 در سایت JCR قرار گرفت. ضمن سپاس از همه دست اندرکاران این نشریه، این موفقیت ارزشمند را به همه اعضای جامعه و انجمن ریاضی ایران تبریک عرض می کنیم. 💎کانال پورتال ریاضیات 🆔 @MathPortal

اعتراضات معلمان ریاضی به ماشین حساب در ایالات متحده آمریکا در سال ۱۹۸۸ 💎کانال پورتال ریاضیات 🆔 @MathPortal