Математика просто!

Немного информатики. 31 в восьмеричной системе = 25 в десятичной системе счисления. Поэтому инженеры и путают Хеллоуин с Рождеством (окт. 31 с дек. 25)

Сколько подряд может наврать Пиноккио, прежде чем его шея не выдержит веса собственного носа и головы? В 2014 году студент физфака из Лестера уже решил этот очень важный вопрос. Модель такая. Пиноккио — дубовый, плотность дерева берут примерно 750 кг/м³. Голову считают шаром, нос — цилиндром. Шея работает как короткая дубовая колонна, которая держит голову на сжатие. Прочность дуба на сжатие берут около 7,9·10⁶ Н/м², средняя окружность шеи — 0,4 м. Из этого получается, что максимум шея выдерживает силу порядка 10⁵ Н. Дальше используют «правило Диснея». Каждый раз, когда Пиноккио врёт, длина носа удваивается. Стартовая длина — 1 дюйм (2,54 см), диаметр — 2 см. Сначала масса носа ничтожна, центр масс головы почти не смещается, и нагрузка на шею маленькая. Но при экспоненциальном росте длина и объём носа очень быстро уходят в космос. Если аккуратно посчитать момент сил вокруг основания шеи и суммарную нагрузку от веса головы плюс носа, то выясняется, что примерно на 13-й итерации всё заканчивается плохо. К этому моменту

— длина носа ≈ 208 м — центр масс всей конструкции смещается примерно на 85 м вперёд — нагрузка на шею превышает предел, и она должна сломаться

То есть Пиноккио физически не способен врать бесконечно часто подряд!

Оптическая иллюзия, сами круги идеально ровные

Помните?

Вспоминаем римские цифры

Всегда за то, чтобы ученик находил тот способ решения, который ему удобен, но не все можно делать так как нам удобно, есть еще правила математических операций, имейте в виду.

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 8 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Ого, а я и не знала!

“Забор” Вот пример школьной задачи и решения из книги: Игорь и Паша могут покрасить забор за 4 часа, Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 9 часов. За какое время мальчики покрасят забор, работая втроём? Решение. Пусть производительности мальчиков равны соответственно i, p и v заборов в час. Тогда по условию задачи i + p = 1/4, p + v = 1/12, i + v = 1/9. Складывая эти равенства, находим, что 2(i + p + v) = 4/9, откуда i + p + v = 2/9. Следовательно, мальчики покрасят забор за 1/(i + p + v) = 9/2 = 4,5 часа. Понимаете, что не так с этой задачей? Проверил на DeepSeek, тот подвоха не заметил. Правда затем честно признал, что был неправ. Выходит, что китайские ИИ модели честнее американских:)? Ответ: в решении ошибки нет, но получается, что Игорь и Паша вдвоём покрасят забор быстрее, чем втроём. Другими словами производительность Володи отрицательная и числа в условии подобраны неправильно. P.S. На самом деле это возможно, если Володя не помогает красить забор, а мешает этому процессу: отвлекает других, красит другой краской уже покрашенное и т.д., но согласитесь, что ситуация странная и составители задачи скорее всего просто ошиблись. #УтренняяРазминка #ИскусственныйИнтеллект

Сила — в краткости В мире математики бытует мнение, что значимое открытие обязательно должно быть погребено под горой формул и многостраничных рассуждений. Но история то и дело подбрасывает нам блестящие контрпримеры, доказывающие, что сила идеи обратно пропорциональна объёму текста, её описывающего. Классический пример — статья Ландера и Паркина, вышедшая в 1966 г. Всё её содержание — два предложения и одно равенство: 27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵. Этого хватило, чтобы опровергнуть гипотезу Эйлера, которая держалась почти двести лет. Великий математик полагал, что для получения одной пятой степени нужно минимум пять других, но четвёрки хватило, чтобы его идея рухнула. Вся статья заняла меньше места, чем иное письмо в редакцию. Ещё более радикальный подход продемонстрировали Джон Конвей и Александр Сойфер. Их статья «Могут ли n² + 2 равносторонних треугольника покрыть равносторонний треугольник?» состоит по сути из двух рисунков и лаконичной подписи: «n² + 2 can». Они не стали расписывать доказательство, сочтя чертёж исчерпывающим аргументом. И рецензенты с ними согласились, приняв, возможно, самую короткую работу в истории солидного математического журнала. Здесь стоит отметить, что математическая строгость — это не то же самое, что педантичность некоторых душнил, требующих предельно подробно прописывать каждый шаг, сводя любое рассуждение к аксиомам. Настоящая строгость — в безупречности логической конструкции, а она может быть и очень компактной. Гениальная мысль часто и есть самый короткий путь между условием и выводом. Эта традиция краткости проникает и в более формальные работы. Возьмём, к примеру, диссертацию Дэвида Ли в MIT. Её основное математическое содержание уместилось на трёх страницах, а после одного из утверждений и вовсе стояла фраза «Proof: Obvious» («Доказательство: очевидно»). Это не небрежность, а высшая уверенность в ясности своей логики. Апофеозом математического минимализма стала, пожалуй, «лекция» Фрэнка Нельсона Коула в 1903 году. Он вышел к доске и молча, в течение часа, вычислил значение 2⁶⁷ – 1, а на другой половине доски перемножил два простых числа: 193707721 и 761838257287. Когда результаты вычислений на обеих половинах доски совпали, это доказывало, что число Мерсенна 2⁶⁷– 1 является составным. Когда Коул стёр последнюю цифру, зал встретил его аплодисментами. Коул не произнёс ни слова — его вычисления говорили сами за себя. Все эти истории напоминают старую истину: чтобы сказать нечто действительно важное, необязательно говорить много. Как метко заметил Блез Паскаль, у него не хватило времени написать короткое письмо, поэтому он написал длинное. Создание ёмкой и самодостаточной краткости — это и есть одна из вершин математического мастерства.

🔥 Спор о бесконечностях: Кантор против Кронекера В конце XIX века Георг Кантор взялся за измерение бесконечности. До него бесконечность была скорее идеей, а не чем-то конкретным. Но Кантор показал, что даже у неё есть структура. Он доказал, что существуют разные размеры бесконечного: например, множество всех чисел бесконечно, но множество всех вещественных чисел бесконечнее. Леопольд Кронекер, старший и уважаемый математик, посчитал это безумием. Для него существовали только числа, которые можно построить руками, то есть конечные. Он говорил: «Целые числа создал Бог, всё остальное — дело человека». Кантор же не видел в математике таких ограничений. ⏩Это был конфликт мировоззрений — между строгостью и свободой абстракции. Кантора обвиняли в ереси, его работы отвергали журналы, где Кронекер имел влияние. И всё же время решило спор: бесконечные множества легли в основу современной математики, а идеи Кантора стали фундаментом теории множеств.