المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر

[إشارة] بيِّن فرانكلن في هذا الكتاب: — أن الرياضيات تنقسم إلى: رياضيات أولية (Elementary) ورياضيات عليا (Higher). بحيث أن الرياضيات الأولية موضوعها الكمية (Quantity) والرياضيات العليا موضوعها البنية المحضة والنمط المحض (Structure & Pattern). الرياضيات الأولية منها الهندسة والحساب والتفاضل/التكامل والتحليل، وأما الرياضيات العليا فمنها الجبر المجرد (Abstract Algebra) ونظرية الزمر (Groups) وجملة من العلوم الرياضية المحضة الحديثة (Modern Pure Mathematics). — هذا الانقسام واقعي وضروري، فإن البنية موضوع حقيقي، والكمية موضوع حقيقي آخر، فكلاهما موضوع لعلم رياضي، على أنه لا يمكن اختزال العلوم الرياضية في البنيوية كما يظن البعض. وأنا أرجو من البعض التمهل قليلًا وعدم التسرع في اتهام الغير بالدوغمائية وبرفض التطور العلمي قبل قراءة كلام الغير والاطلاع على آرائهم.

ماشاء الله تبارك الله، جزى الله الفاضل التميمي خيرًا، فقد أخرج لنا هذه الموسوعة العلمية على أفضل صورة.

ينبغي أن يُلاحظ أن زاباريلا يكتب بأسلوب متوسّط بين المدرسية المتأخرة (Late Scholasticism) والإنسانية في عصر النهضة (Renaissance Humanism) التي كانت تعيد إحياء لغة سيسرو (Cicero) وسينيكا في صياغة الفلسفة. فمثلًا في التعبير عن العقل الإنساني والعقل الفعّال يستعمل زاباريلا Mente (بالإنجليزية: Mind) بدل Intellectus (بالإنجليزية: Intellect) ملاحظًا الفرق بين الاستعمالين في سياقات محدَّدة. فعناوين الكتابَين السابع والعشرين والتاسع والعشرين باللاتينية: De Mente Humana و De Mente Agente، وعناوين الكتابَين الثامن والعشرين والثلاثين باللاتينية: De Speciebus Intelligibilibus و De Ordine Intelligendi، أما الأولان فيُترجمان إلى: On Human Mind و On Agent Mind، وأما الأخيران فيُترجمان إلى: On the Intelligible Species و On the Order of Understanding، فيُلاحظ أن زاباريلا لم يستعمل Intellectus في التعبير عن العقل الإنساني والعقل الفعّال، بل استعمل Mente، أي Mind وليس Intellect، ومع هذا، استعمل Intellectus Agens –مثلًا– في كثير من الفصول والمواضع. ومرجع هذا –أعني استعمال Mente بدل Intellectus مثلًا– هو تأثّر زاباريلا وعموم علماء بادوفا بالبلاغة اللاتينية الإنسانية (Humanist Latinity).

The theory of whole numbers advanced in this book, that they are relations between unit-making properties and the heaps they structure, was put forward in the 1980s by Kessler and developed by the Australians Forrest and Armstrong (though as just seen, it has a close resemblance to a remark of Aristotle’s). An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin

كتاب "في الأمور الطبيعية" لجاكوبو زاباريلا، يعد موسوعة تحقيقية في الطبيعيات المشائية، حيث كان غرض زاباريلا أن يعطي كتابًا للطلاب يشتمل على جلّ الطبيعيات وأهم المسائل الخلافية بين المشائين بنفَس تحقيقي رصين، والموسوعة تشتمل على ثلاثين كتابًا: الكتاب الأول: في تأسيس العلم الطبيعي. الكتاب الثاني: في المادة الأولى: المقالة الأولى. الكتاب الثالث: في المادة الأولى: المقالة الثانية. الكتاب الرابع: في الطبيعة. الكتاب الخامس: في استكشاف الحركة الأزلية. الكتاب السادس: في طبيعة السماء. الكتاب السابع: في حركة النار المستديرة. الكتاب الثامن: في حركة الثقيل والخفيف: المقالة الأولى. الكتاب التاسع: في حركة الثقيل والخفيف: المقالة الثانية. الكتاب العاشر: في قوام المشخَّص (أو: في مبدأ التشخُّص).. الكتاب الحادي عشر: في الكون والفساد العام للأشياء. الكتاب الثاني عشر: في الفعل والانفعال المتبادل. الكتاب الثالث عشر: في المركبات. الكتاب الرابع عشر: في الكيفيات العنصرية: المقالة الأولى. الكتاب الخامس عشر: في الكيفيات العنصرية: المقالة الثانية. الكتاب السادس عشر: في طبقات الجو (أو: في طبقات الهواء). الكتاب السابع عشر: في الحرارة السماوية. الكتاب الثامن عشر: في كون وفساد الجسم المركَّب: المقالة الأولى. الكتاب التاسع عشر: في كون وفساد الجسم المركَّب: المقالة الثانية. الكتاب العشرون: في كون وفساد الجسم المركَّب: المقالة الثالثة. الكتاب الواحد والعشرون: في قوى النفس. الكتاب الثاني والعشرون: في أجزاء النفس. الكتاب الثالث والعشرون: في النمو والاغتذاء. الكتاب الرابع والعشرون: في الحاسة الفاعلة. الكتاب الخامس والعشرون: في البصر: المقالة الأولى. الكتاب السادس والعشرون: في البصر: المقالة الثانية. الكتاب السابع والعشرون: في العقل الإنساني. الكتاب الثامن والعشرون: في الصور المعقولة. الكتاب التاسع والعشرون: في العقل الفعّال. الكتاب الثلاثون: في ترتيب التعقُّل (أو: في نظام التعقُّل). وقد حاولت ترجمة الكتاب من اللاتينية إلى العربية بواسطة الذكاء الاصطناعي، إلا أن الترجمة كانت رديئة جدًا لا تصلح للنشر، فعاودت محاولة الترجمة لكن من اللاتينية إلى الإنجليزية، فكانت الترجمة –بعد المراجعة والتنقيح– جيّدة جدًا تصلح للنشر، وقريبًا سأنشر ترجمة الكتاب كاملًا، والله الموفِّق.

[There is no philosophical point to set-theoritic constructions] All or almost all mathematical concepts can be so constructed, and there is some mathematical point to the exercise, mainly to demonstrate the consistency of the concepts (or more exactly, the consistency of the concepts relative to the consistency of set theory). But there is no philosophical point to them. The Aristotelian is not impressed by the construction of a relation as a set of ordered pairs, for example. To see that as an analysis of relations would make the same mistake as identifying a property with its extension. The set of blue things is not the property blue, nor is it in any sense an ‘analysis’ of the concept blue. It is the property blue that pre-exists and unifies the set (and supports the counterfactual that if anything else were blue, it would be a member of the set). Similarly the ordered pair (3,4) is a member of the extension of the relation ‘less than’ because 3 is less than 4, not vice versa. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin

مهم... وينطبق من وجه على الصورانية أيضًا لا مجرد الأفلاطونية...

[what it is that would make the construction an adequate explanation] There exists an elaborate classical construction of ‘the continuum’ as a set of equivalence classes of Cauchy sequences of rational numbers, with Cauchy sequences and rational numbers themselves constructed in complex ways out of sets. What is it that makes that particular set an analysis of the original notion of the continuum? The Aristotelian has an answer to that question: namely that the notion of closeness definable between two equivalence classes of Cauchy sequences reflects the notion of closeness between points in the original continuum. ... The statement that closeness is the same in both cases is not subject to mathematical proof, because the original continuum is not a formalized entity. ... The Platonist, however, does not have any answer to the question of why that construction models the continuum; the Platonist will avoid mention of real space as far as possible and simply rely on the tradition of mathematicians to call the set-theoretical construction ‘the continuum’. The Platonist prefers not to look at the actual history and notice that Cantor constructed something with exactly the properties assigned by Aristotle to the continuum. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin

هذا مهم جدًا؛ فإنه يكشف عن أميّة المجتمع الرياضي والمجتمع الفلسفي في الرياضيات على المستوى التاريخي والأكاديمي معًا بلحاظ الواقعية والتفكير الواقعي. الحدسية، الصورانية، المنطقية، الأفلاطونية: هذه في الحقيقة ليست إلا أفكار طفولية ابتدائية عند العقول الضعيفة فلسفيًّا وليس يخلو الواحد منها من شائبة سوفسطائية. ومع ذلك فإنني أدرك منذ البداية وقبل قرائتي لهذا الكتاب (إذ أنا حديث عهد به) أن لكل مدرسة من هذه المدارس إيجابيات كثيرة، ولكن لا شيء من تلك الإيجابيات بمتعارض مع الفلسفة الواقعية الصحيحة للرياضيات. ومع الأسف فإن الخصوم الذين لم يعجبهم كلامي السابق، عندما صرحت بسوفسطائية أكثر مدارسهم المشهورة وبضعف أعاظم الرياضيين على المستوى العقلي والفلسفي... ظنوا (غلطًا منهم – سامحهم الله –) أنني ضد تلك المدارس من جميع الوجوه لدرجة رد الحق الذي فيها. والحق أنني مدرك لعظيم الخير الذي جاء من قبلهم، والذي أدى إليه من تطور، ولكنهم قوم يأخذون ما بالعرض مكان ما بالذات، وهم في الحقيقة من الذين فسرت حالهم وبينت واقعهم في منشور كتبته بالأمس. وسيكشف الزمان عن أمور كثيرة في قابل الأيام...

[The Invisibility of Aristotelian Realism in the Philosophy of Mathematics] ... Aristotelian realism has been all but invisible in the philosophy of mathematics in the twentieth century and since. It did not make any appearance in the debate early in the century between the schools of logicism, intuitionism and formalism. (Of these, logicism and intuitionism deny that mathematics has an object, while formalism is in one way nominalist as reducing mathematics to language, but could also be regarded as a form of Platonism, with the Platonic entities being uninterpreted ‘symbols’ – one was not supposed to ask about whether one needed some kind of optical character recognition to discern when two marks were instances of the same ‘symbol’.) And Aristotelian realism does not appear in the usually reliable Routledge Encyclopedia of Philosophy (even under ‘Realism in mathematics: anti-Platonist realism’), nor in the recent wide-ranging Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic (even in the briefly mentioned anti-nominalist ‘moderate realism’ of Burgess and Rosen), and is barely mentioned in the Stanford Encyclopedia of Philosophy’s article ‘Naturalism in the philosophy of mathematics’. The extensive classification of realist philosophies of mathematics in Balaguer’s Platonism and Anti-Platonism in Mathematics instances only Mill under (non-mentalistic) ‘realistic anti-Platonism’. The North Holland Handbook of the Philosophy of Science volume Philosophy of Mathematics does have a chapter entitled ‘Aristotelian realism’, but it is a forerunner of the present work. As we will see in the last section below, there has in fact been some Aristotelian work, but plainly its impact has been minimal. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin

The fact that ‘being an ω-sequence’ is purely structural, and that the numbers taken as a whole instantiate this structure, does not imply that individual numbers are purely structural. Numbers are places or ‘offices’ in structures but not merely places in structures. The real relations between heaps and unit-making properties – the true numbers – taken as a whole system, form an ω-sequence, but still retain their own characters. Other entities, such as sets formed out of the empty set, can also form an ω-sequence, without anyone needing to mistake them for numbers. That would be like mistaking the commuters in the queue for the 8.21 bus to the City for those in the queue for the 8.46, simply because both are queues. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin

For the continuum seems to contain all there is to ratios: the system of all ratios, with their mutual relations of closeness to one another, just is the continuum. Constructing it in set theory does show its purely structural nature, but at the cost of a great deal of unintuitive machinery. Granted however that the continuum is purely structural, it might seem to follow that ratios (and hence quantity in general) are purely structural. Identifying the flaw in this argument casts light on a number of problems of the relationship between structural and non-structural properties, and hence on many issues concerning the applicability of mathematics to reality. It is true that the continuum is a purely structural entity. It does not follow that the individual ratios themselves are purely structural. The continuum is a structure which the system of ratios shares with several other quite different entities, for example, an infinite line in real space (if real space is infinite and infinitely divisible), and the set of infinite decimals (with distance defined by the difference). It does not follow that either individual spatial points or individual infinite decimals are purely structural. Only the system of all the entities of each kind instantiates the (same) structure, the continuum. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin

It was explained in the previous chapter that the ontological commitments of set theory and of mereology (with individuals) were the same, as sets supervene on objects and the existence of unit-making properties for them, which are the same entities needed for a ‘calculus of individuals’. ... It follows that to demonstrate that a concept is purely structural, it is sufficient to construct a model of it out of sets – the capacities of set theory and pure mereology for construction are identical. That is indeed the main philosophical point of the construction of mathematical entities in set theory. While construction in set theory is normally taken to support Platonism, by reducing the objects of mathematics to sets considered as Platonic entities, it can equally be read as mereology and structure in disguise. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin

Since equality and inequality of objects are engendered by the repeated instantiation of a unit-making universal, this confirms the lesson of the previous chapter, the crucial role of unit-making universals in generating numbers and sets. Equality is admitted into the logic for the same reason as that the mereology being used is the ‘calculus of individuals’: there must be objects constituted as units. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin

Modern pure mathematics has concentrated more and more on pure structure. Poincaré recognized the new direction of mathematics in his celebrated comment:

Mathematicians do not study objects, but the relations between objects; to them it is a matter of indifference if these objects are replaced by others, provided that the relations do not change. Matter does not engage their attention, they are interested in form alone.

That comment is not especially true of mathematics conceived as the science of quantity, but it is true of the higher mathematics of 1900 and since. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics | James Franklin