Математические байки

Ещё одна картинка — тоже воспроизводя эксперимент: 31 шарик с линейными связями плюс квадратичная нелинейность, начинаем с чистой синусоиды, и вот при колебаниях график всё сильнее деформируется.

Итак, следующая часть лекции Кричевера была посвящена парадоксу Ферми-Паста-Улама. В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ? Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны, u_tt = u_xx, и тогда колебания будут идеально периодическими. А что, если во взаимодействие добавить нелинейность? Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов. Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.

Тизер к следующей части 🙂

Картинка из лекции: опрокидывающаяся волна (чем больше значение u, тем больше скорость) и её « разглаживание » третьей производной в правой части.

Теперь можно спросить себя, что делает другая часть KdV: что, если мы смотрим только на уравнение u_t + u_xxx =0 ? Это линейное уравнение — так что его можно решать, как любое другое линейное дифференциальное уравнение: если написано уравнение u_t = Au, то для собственного вектора Au_j = \lambda_j u_j решением будет u_j * exp(\lambda_j t), ну и дальше решение по линейности раскладывается в линейную комбинацию таких (предположим на секунду, что никаких жордановых клеток нет). Правда, уравнение на функцию u, то есть на элемент бесконечномерного пространства, но нам это не помешает. Собственные вектора у взятия третьей производной, собственно, совершенно замечательные, это мнимые экспоненты exp(i ω x) (мнимые — чтобы не было экспоненциального роста). А разложение по ним называется « преобразование Фурье »! (Кстати: то, что тут рассматривать надо именно экспоненты, следует из того, что правая часть у нас от x не зависит — поэтому коммутирует со сдвигами. А у коммутирующих операторов « в хорошей ситуации » можно искать общий собственный базис, ну а какая функция при сдвиге аргумента остаётся пропорциональной себе? Конечно, экспонента.) Если мы посмотрим с этой точки зрения на уравнение u_t = - c u_x, то гармоника с частотой ω, exp(i ω x), будет собственной для правой части с собственным значением -iωc, так что задаёт решение exp(-i ω c t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x-ct)), едущее вправо со скоростью c. И раз с этой скоростью едут все гармоники — то едет и любое другое решение. Но для u_t = - u_xxx собственное значение гармоники exp(i ω x) будет уже -(iω)ˆ3=i ωˆ3, и получается решение exp(i ωˆ3 t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x+ωˆ2 t)), едущее с зависящей от частоты ω скоростью ωˆ2. И это несколько решение "сглаживает" — гармоники начинают "разъезжаться". Это такое себе сглаживание (вот вторая производная в этом смысле сработала бы гораздо лучше, но тут не она), но "опрокидыванию" оно всё-таки помешает. (Disclaimer: в этом месте я добавил к лекции И.М. много пояснений от себя. Если вдруг что не так — all blame is on me.)

Возвращаясь к волнам — u_t + u u_x =0 отвечает тому, что кусочек волны « бежит » тем быстрее, чем он выше. В терминах профиля это приводит к тому, что верхушка волны бежит чуть быстрее её основания, передний фронт волны становится всё более и более « крутым », и наконец, волна опрокидывается « барашками ». Теми самыми « барашками », которые мы и вправду видели. Ну и вот как оно выглядит.

Соответственно, вот так выглядит построение решения: нужно взять начальное условие, для каждой точки (x_0,0) посмотреть, чему равно u_0=u(x_0,0), начертить на плоскости (x,t) прямую (x_0+tu_0,t) и на ней на всей положить u(x,t)=u_0. (Для полноты: всё это назвается методом характеристик для уравнения первого порядка.) И сразу видно, что тут решение может существовать только конечное время: если две такие прямые на плоскости пересекаются — то мы не можем сказать, чему должно равняться решение u в точке их пересечения: одна прямая « говорит » одно, другая — другое. Ещё можно сказать так. Когда у нас было уравнение u_t + c u_x =0 , то можно было сказать, что по оси x проходит дорога, по которой едут машины, все с одной и той же скоростью c, и « везут » написанные на них значения u. А теперь машина с надписью u и едет со скоростью u — только вот водители друг друга игнорируют! Так что, как только какая-нибудь более быстрая машина догонит более медленную, всё сломается.

Пара быстро набросанных картинок — слева векторное поле, справа мы уже знаем, что его интегральные траектории это прямые.

Хорошо, а что, если u_t + u * u_x =0 ? (Я поменял знак — это ни на что по сути не влияет, а думать про идущую вправо волну проще.) Пусть уже есть какая-то функция u(x,t), являющаяся решением. Построим по ней векторное поле на плоскости: в каждой точке (x,t) нарисуем вектор (u(x,t),1) — ещё раз, зависящий от решения u(x,t), которое мы пока что ещё не знаем. Так вот — если продифференцировать решение u(x,t) вдоль (построенного по нему же) векторного поля, то получится в точности ноль — потому что в этом и состоит уравнение. А значит, на каждой интегральной кривой этого векторного поля решение u постоянно: ведь ограничение u на неё имеет нулевую производную. Но векторное поле строилось по решению u, и раз на интегральной кривой u постоянна, то эта интегральная кривая это просто прямая(!).

А что, если перед u_x будет множитель c, u_t + c u_x =0 ? Тогда на плоскости (x,t) нужно нарисовать постоянное векторное поле (c,1), и уравнение состоит в том, что производная решения вдоль этого векторного поля равна нулю. То есть решение едет вправо со скоростью c: u(t,x)= f(x-ct), где f(x)=u(0,x) — начальное состояние системы.

Вот картинка решения u_t + u_x=0 в несколько последовательных моментов времени.

Давайте я продолжу немного про лекцию Кричевера. Так вот — на доске появляется уравнение Кортевега-де Фриза, u_t - (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} = 0. (И.М. тут сразу говорит, что константы не важны; понятно, что их можно поменять, выбрав другие единицы измерения для t, x и u — иными словами, сделав линейную замену переменной.) А что вообще об этом уравнении можно сказать? Давайте для начала выкинем третью производную (и уберём константу): рассмотрим уравнение Римана-Хопфа u_t - u u_x =0. Это соответствует тому, что мы смотрим на решение, когда оно очень-очень плоское, и третья производная сильно меньше всего остального (если взять функцию sin(x/100), то первая производная у неё порядка одной сотой, а третья порядка одной миллионной). Так вот — что же будет происходить? Если взять вообще уравнение u_t + u_x=0, то это будет соответствовать тому, что решение едет вправо с единичной скоростью. Потому что если мы берём функцию u(t,x) на плоскости (t,x) и дифференцируем её в направлении вектора (1,1), то получаем ноль!

https://nplus1.ru/material/2022/12/13/primal-art «…Относительно большая доля простых чисел означает также, что у конкретного большого числа, скорее всего, можно просто подкрутить несколько цифр — и получить простое. Это простое замечание породило целое направление: псевдографику, в которой картина изображается в виде простого числа… »

А вот тут Вансан Дюшен (Vincent Duchêne) в начале 5-минутного рассказа про солитоны показывает физический пример: https://www.youtube.com/watch?v=NeYaCuSUDc8&t=55s

Вот картинка одной такой бегущей волны в три последовательные момента времени, из записок дубнинского курса Натальи Рожковской (они выложены тут — https://mccme.ru/dubna/2019/notes/rozhkovskaya-notes.pdf).

Вот тут лежит видеозапись лекции Игоря Моисеевича, которую он читал в ЛШСМ-2010 (а вот тут — её анонс). Там (как это зачастую бывает) к концу пошло экспоненциальное нарастание сложности; давайте я чуть-чуть попробую про ту его лекцию — и вообще про « интегрируемую » науку написать. Disclaimer — это не очень « моя » наука, так что до какого-то момента я могу оценить философию и красоту, а потом наступает ощущение, что « тут точно что-то есть дальше, правильный угол, как на это смотреть — но я его не знаю ». Так вот, начинается лекция традиционно — с рассказа о том, как Джон Скотт Рассел, инженер из Эдинбурга, во время конной прогулки вдоль канала увидел, как при остановке баржи из-под неё вырвалась одиночная волна. И пошла, сохраняя форму, и шла долго-долго. Что, по представлениям тех времён, было невозможно (считалось, что одиночная волна « расползётся »). Так что, хоть он свои наблюдения и описал — ему не поверили… Через какое-то время появилось уравнение Кортевега-де Фриза KdV, оно же « уравнение мелкой воды »: u_t - (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} = 0; тут нижние индексы обозначают дифференцирование. И среди решений этого уравнения есть и одиночные бегущие волны - солитоны.

http://mi.mathnet.ru/umn10015 текст про И.М.Кричевера и его математику

Игорь Моисеевич Кричевер (08.10.1950–01.12.2022)

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2022-05.2-4.pdf продолжаем разговор про рождественскую теорему Ферма — рассказ про доступное даже 7-класснику доказательство Спивака с «крылатыми квадратами» (Квантик №5 за 2022 год; Г.Мерзон)