Ошибка Саши Томаса

Когда у меня появилась девушка-разработчик, я понял, что подарки — это поток с интенсивностью λ (шт./мес.) и средней ценой c. Бюджет ограничен: S = λ·c = const. Значит, все возможные стратегии лежат на гиперболе c = S/λ. Чем чаще даришь подарки — тем дешевле каждый из них, и наоборот. Цену c будем мерить в условных единицах: c₀ = 1 у.е. — базовый масштаб, относительно которого и берётся логарифм. Полезность получателя U(λ,c). Если при фиксированном бюджете ∂U/∂λ|ₛ > 0, то частота важнее цены: радость растёт быстрее от числа подарков, чем от стоимости каждого. Предельная полезность денег убывает: U(c) = log c или U(c) = c^α, где 0 < α < 1. Для логарифма n подарков по c дают n·k·log c, а один за nc — k·log(nc) = k(log n + log c). Первое больше, если c > n^(1/(n−1)). При n → ∞ порог стремится к 1 — условие выполняется почти всегда. Три подарка по 5 у.е. субъективно приятнее одного за 15 у.е. Каждый подарок — импульс радости амплитудой A ~ log c, затухающий с временем τ. При бюджете S и n подарках стоимость каждого c = S/n, интегральная полезность за период пропорциональна ∫U dt ~ n·log(S/n)·τ. Производная по числу подарков: d/dn[n·log(S/n)] = log(S/n) − 1. Дробить бюджет выгодно, пока средняя стоимость превышает c > e ≈ 2,72 у.е. После этого слишком частые и дешёвые подарки теряют эффект. Подарок за 1 у.е. уже не работает. Ценность события равна его неожиданности: I = −log(p), где p — субъективная вероятность подарка. После первого Lego вероятность следующего резко возрастает: p₅₀ ≫ p₁, а значит −log(p₅₀) ≪ −log(p₁). Первый подарок информативнее — и математически ценнее. Отсюда вывод: при фиксированном бюджете разнообразие увеличивает суммарную полезность, потому что вероятность каждого нового типа остаётся низкой. Пятидесятое Cartier уже почти не удивляет. Его информационная ценность стремится к нулю.