Материалы по геометрии и топологии 2024

В сюжете «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге» https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ появились новые возможности. Калейдоскоп одинаковых правильных многоугольников можно строить так, чтобы в центре абсолюта был центр одного из многоугольников, а можно таким образом, чтобы в центре абсолюта находилась вершина замощения. И в том, и в другом случае получившиеся картины теперь можно сохранить в векторном формате PDF! Напомним и о цикле гравюр Маурица Эшера «Circle Limit».

Теория узлов и зацеплений является центральной, ключевой составляющей топологии малых размерностей — наиболее естественной, наглядной и интуитивной части топологии. Эта теория имеет богатейшую историю и проникает во множество областей математики, в физику, химию, биологию. В теории узлов с потрясающей частотой происходят революции, открытия новых подходов, связей и точек зрения, во многом переворачивающих установившиеся до этого представления. При этом, как это ни удивительно, начать занятия теорией узлов и совершить там серьезное открытие (и даже — очередную революцию) до сих пор можно практически без подготовки — не тратя времени на освоение уже накопленного объема знаний. Посвятить хотя бы несколько дней своего творчества теории узлов должен каждый математик — просто для того, чтобы проверить, не совершит ли какая-то простая идея, представляющаяся ему самому элементарной и естественной, очередной переворот в этой теории (а может быть, и в нескольких смежных с ней) (источник)

Вводный курс по теории узлов: ссылка

Как выучить любой язык 00:00 Понятный входной материал (comprehensible input) 00:52 Изучение vs освоение языка (learning vs acquisition) 02:09 Ввод vs вывод (input vs output) 02:50 Метод Стивена Крашена 03:30 Понятность и увлекательность 04:42 Интенсивное vs экстенсивное обучение 05:45 Где брать материалы (источник)

Дифференциальная геометрия за 15 минут 00:00 Гладкие многообразия 04:58 Касательные векторы и векторные поля 06:32 Скобка Ли векторных полей 08:06 Векторные поля и дифференциальные формы 10:30 Интегрирование на многообразиях 12:11 Формула Стокса (источник)

Скрытый смысл транспонирования 00:56 Панорамный вид 04:29 Визуализация ковекторов 09:32 Визуализация транспонирования 16:18 Два примера транспонирования 19:51 Специальная теория относительности (источник)

Теория Ли: визуализация алгебр Ли 00:00 Абстрактное определение 01:00 Алгебры Ли и группы Ли 02:24 Вращения и векторные поля 05:26 Алгебра Ли группы SO(2) 07:40 Алгебра Ли группы SO(3) 09:48 Общий случай SO(n) 14:40 Свойства алгебр Ли 21:14 Присоединённое представление 30:11 Его билинейность и антисимметричность 36:25 Правило произведения (тождество Якоби) 38:20 Аналогия с производной по направлению 39:25 Определение скобки Ли 40:20 Бонус: tr(AB) = tr(BA) 42:20 Панорамный вид (источник)

Теория Ли: скрытый смысл следа матрицы 00:48 Матрица как векторное поле 02:24 Дивергенция 04:50 Связь между следом и дивергенцией 10:12 След = сумма собственных чисел 13:32 Определитель и экспоненциирование матрицы 15:15 След не зависит от базиса 18:10 Формула Якоби (источник)

Как и зачем возводить число e в степень-матрицу 0:00 Экспоненциирование матриц 6:39 Динамика любви наглядно 13:16 Линейные динамические системы интуитивно 20:03 Четыре лика поворотов 22:10 Визуализация потока векторного поля (источник)

Теория Ли: единообразие возведения в степень 01:03 Что такое экспоненциирование 04:15 Векторы 11:23 Операторы дифференцирования 24:04 Векторные поля (источник)

Теория Ли: вращение в многомерных пространствах 00:00 Введение 01:04 Вещественные повороты 07:03 Комплексные повороты 11:35 Теория Ли (источники: 1 и 2)

Теория Ли: группы, алгебры и скобки 01:26 Группы ли как группы 05:41 Группы Ли как многообразия 10:23 Алгебры Ли 14:16 Скобки Ли 18:03 Панорамный вид на теорию Ли (источник)

Почему "вероятность 0" не означает "невозможно" 00:41 Парадокс 02:24 Практическое использование 04:20 Плотность вероятностей 05:02 Функция плотности 06:02 Теория меры 09:12 Заключение (источник)

Что лучше: когда у продавца более высокий рейтинг или больше отзывов? 00:28 Интуитивное объяснение 01:39 Правило наследования Лапласа 03:00 Основная модель 06:21 Биномиальное распределение 09:04 График вероятности 10:56 Вероятность успеха 11:36 Максимизация вероятности (источник)

5 способов найти научного руководителя: https://telegra.ph/how-to-find-an-advisor-08-24

Короткое и быстрое доказательство формулы Байеса 00:19 Симметричность 01:15 Приложения 01:45 Распространенное заблуждение 02:38 Независимость событий 02:55 Геймифицированные примеры (источник)

Три уровня понимания формулы Байеса 0:00 Думай медленно, решай быстро 4:09 Формулировка 10:13 Интуитивное понимание 13:35 Распространённая ошибка (источник)

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады 01:00 Формулировка 02:00 Двумерный аналог 03:04 Вероятность попадания на дугу 04:29 Перенос в 3D 05:24 Интегрирование 07:38 Изящное решение 08:38 Теория вероятностей и линейная алгебра (источник)

Аналитическое продолжение комплексных функций 01:14 Дзета-функция Римана 07:39 Визуализация 10:48 1+2+3+4+... 13:58 Аналитические функции 15:28 Аналитическое продолжение интуитивно 17:24 Гипотеза Римана 20:01 Единственность продолжения и -1/12 (источник)

Комплексное интегрирование на понятном языке 00:00 Две интуиции вещественного интегрирования 05:54 Визуализация методом Пойи [Pólya vector field] 08:14 Интеграл — это работа и поток векторного поля Пойи 12:17 Теорема Коши (интеграл по замкнутому контуру нулевой) 17:23 Интегрирование 1/z наглядно 21:12 Другие степени z 27:10 Интегральная формула Коши 30:28 Теорема о вычетах и как её использовать 35:00 В чём прикол? (источник)

Дифференцирование, которому вас не учили 00:00 Производная 1:08 Гомологии 3:41 Когомологии 7:45 Теорема де Рама 9:02 Панчлайн (источник)