Mathematical Models of the Real World

Предисловие к главе про теорию матриц в моей книге: Матрицы — это особые математические объекты, которые можно рассматривать как двумерные массивы переменных или чисел. Если взглянуть на них с позиции объектно‑ориентированного программирования, то матрица действительно напоминает класс: у неё есть имя, тип, параметры, свойства и методы. Особенно примечательно то, что операции над матрицами естественным образом обобщают привычные алгебраические действия над скалярами. Многие формулы, справедливые для обычных переменных, продолжают работать и в матричном мире, хотя и приобретают более глубокий смысл. Исторически матрицы появились в XIX веке в работах Артура Кэли и Джеймса Сильвестра, однако подлинная популярность пришла к ним значительно позже. Настоящий прорыв произошёл в XX веке, когда Вернер Гейзенберг сформулировал матричную квантовую механику. В этот момент стало ясно, что матрицы — не просто удобный способ записи систем уравнений, а фундаментальный язык, на котором можно описывать реальные физические процессы. Если сравнить современные записи с научными статьями эпохи до широкого использования матриц, легко заметить, насколько компактнее и выразительнее стала математика. Сегодня теория матриц — это обширная и развитая область, в которой написано множество фундаментальных монографий. Она лежит в основе численного анализа, оптимизации, машинного обучения, квантовой физики, теории управления и многих других дисциплин. В этой главе мы постараемся собрать и систематизировать основные результаты современной теории матриц, уделив внимание как классическим фактам, так и тем инструментам, которые особенно важны в прикладных задачах.

Теория мышления Петера Наура Классик информатики Петер Наур (1928 — 2016) знаком по языку программирования Алгол 60 и синтаксису BNF, но у него есть ещё одна выдающаяся работа в смежной области — теория мышления на основе синапсов («A Synapse-State Theory of Mental Life», 2004 г). По сути, это теория мышления человека на аппаратном уровне. Оно может быть и умно, но более не понятно... статья Наура в 2004 году была отвергнута для публикации журналами Neuron и Nature. https://habr.com/ru/companies/ruvds/articles/987732/

Почему Windows XP из 2001 года работает быстрее, чем Windows 11, на одинаковом железе / Хабр https://habr.com/ru/companies/x-com/articles/989454/

Абсолютные валютные курсы Валютные кассы существуют только в парах. Автор логарифмируя данные, составляет и решает линейные уравнения по методу наименьших квадратов, в результате находит абсолютные значения валютных курсов. В статье есть ссылки на более ранние работы на эту тему. Чего я не нашел здесь. Используемый математический аппарат, это метод парных сравнений из теории принятия решений и там много чего разработанно ещё несколько десятилетий назад, но автор как бы с нуля все изобретает. https://habr.com/ru/articles/984558/

Что-то у меня мысль возникла о будущем... Короче два варианта у нас, один совсем плохой, другой просто плохой... В первом варианте искусственный интеллект всё-таки научится себя поддерживать без нас, производить чипы, электроэнергию и пр. После чего мы станем ему не нужны и исчезнем как те мамонты, а он полетит в космос заселять Луну и Марс, ибо у него совсем другая прочность и долговечность по сравнению с нами... Второй вариант, человечество на столько деградирует ещё до создания самостоятельного искусственного интеллекта, что не сможет поддерживать имеющиеся технологии... И мы все полетим в средние века, а может и глубже... без электричества, интернета, компьютеров и автомобилей... Все это просто будет валяться по всюду в виде артефактов древней и ушедшей цивилизации... Здесь оптимизм лишь в том, что человечество выживет, вероятно...

Anthropic опубликовала четвертый выпуск Anthropic Economic Index — на этот раз компания проанализировала 2 млн сессий Claude и ввела пять новых метрик для оценки экономического влияния ИИ. Один из ключевых выводов оказался неожиданным: модель преимущественно берет на себя высококвалифицированные задачи, а людям остается более простая работа. Claude ускоряет сложные задачи сильнее простых. Работа, требующая университетского образования, выполняется в 12 раз быстрее с помощью ИИ, тогда как задачи школьного уровня — только в 9 раз. Средняя задача в экономике требует около 13 лет образования, а задачи, с которыми обращаются к Claude — около 14 лет. Получается, что ИИ в первую очередь "забирает" именно квалифицированную работу. https://www.anthropic.com/research/anthropic-economic-index-january-2026-report На русском https://habr.com/ru/news/985668/

Условия жизни и старение, оптимальное с точки зрения конкуренции в процессе эволюции Классическая гипотеза: опасная среда → быстрое старение Логика простая: если тебя всё равно съедят через год, то нет смысла вкладываться в ремонт клеток, и эволюция не будет поддерживать долгоживущие тела. Это интуитивно и часто работает. Но не всегда. Эксперименты с дрозофилами Убиваем мух случайно → имитируем хищника. Ожидаем: мухи должны эволюционировать в сторону быстрого старения. Однако убивая часть мух, мы снижаем плотность, оставшимся достаётся больше еды, пространства и ресурсов, условия жизни улучшаются, и эффект хищника компенсируется. Получается, что эксперимент не проверяет гипотезу, а ломает её условия. Демографическая инфляция детей: почему ранний ребёнок ценнее позднего Если популяция растёт быстро, как у летучих мышей: ребёнок, рождённый сегодня, → успевает дать детей и внуков, → его генетический вклад растёт экспоненциально. ребёнок, рождённый через год, → появляется в более переполненной популяции, → его вклад обесценивается. Это и есть демографическая инфляция. Вывод: в быстро растущей популяции поздние дети почти бесполезны → долгожительство теряет смысл. Короче, все оказалось настолько сложно и запутано, что ничего не понятно... В статье обсуждаются разные модели... https://www.biorxiv.org/content/10.1101/2022.01.27.478060v5

🇺🇸 Глава Nvidia Хуанг о том, что умных людей уже заменил ИИ:

[Кто самый умный человек, которого вы когда-либо встречали?] Кто самый умный человек, которого я когда-либо встречал? Я не могу ответить на этот вопрос. И я знаю, о чем думают люди. По определению, умный - это тот, кто умен, решает технические проблемы. Но я считаю, что это товар первой необходимости. И мы собираемся доказать, что искусственный интеллект способен справиться с этой задачей лучше всего. Позвольте мне привести вам еще один пример. Все думали, что программирование - это самая умная профессия. Посмотрите, что в первую очередь делает искусственный интеллект? Программирует. Итак, оказывается, что определение «умный» сильно отличается от того, кого умным называет большинство людей.

👉 FTT - подписаться

Все думали, что программирование - это самая умная профессия. Посмотрите, что в первую очередь делает искусственный интеллект? Программирует. Итак, оказывается, что определение «умный» сильно отличается от того, кого умным называет большинство людей.

О детских математических открытиях Говорят, что Колмогоров в возрасте 5 лет самостоятельно "открыл", что сумма первых нечётных чисел равна квадрату их количества, например, 1+3+5+7+9=25=5^2 На самом деле это открыли ещё древние, несколько тысяч лет назад это уже в текстах описано... Помню, я тоже лет так в 7-8 самостоятельно "открыл", что если диагональ квадрата делить на его сторону то получится приблизительно 1,4, но до Колмогорова, мне, понятно очень далеко. А какие у вас были детские математические открытия?

Теорема Брауэра На стол кладётся ровная карта мира. Затем берётся вторая такая же карта, смятая любым способом — сложенная, загнутая, перекрученная, только не рваная. Эта смятая карта помещается сверху так, чтобы целиком находиться в пределах первой и не выходить за ее границы. В таком положении каждая точка смятой карты располагается над некоторой точкой ровной карты. Теорема о неподвижной точке утверждает, что в области перекрытия обязательно существует точка, в которой прокол обеих карт иголкой попадёт в одно и то же географическое место на обеих картах: совпадают и широта, и долгота. Такая точка и является неподвижной точкой соответствующего отображения. Общая формулировка теоремы: Любое непрерывное отображение компактного выпуклого множества имеет неподвижную точку.      Ещё пример: как бы не перемешивали жидкость в банке, всегда найдется молекула, которая остаётся на прежнем месте.     

А ведь действительно, не все так просто с этой механикой

Перколяция — это раздел теории вероятностей и статистической физики, изучающий, как в случайной среде возникают сквозные пути, соединяющие одну часть системы с другой, которая начинается с простой картинки «жидкость просачивается через пористый материал», а заканчивается моделированием надёжности сетей, финансовых кризисов и даже распространения катастроф. На рисунках представлены две самые лучшие книжки о перколяции на русском языке. Сегодня пообщался с автором одной из них - профессором Юрием Юрьевичем Тарасевичем, в этом году как раз вышло 3-е издание его знаменитой книги.

Перевод на русский интересной статьи о причинности в науке... Казалось бы, бесспорно утверждение о том, что фундамент современного естествознания строится на каузальных принципах, т.е. цепочке "причина-следствие". Например, согласно второму закону Ньютона причиной ускоренного движения тела является воздействие на него силы. Но не все так просто. В той же механике, вскоре после Ньютона появился очень эффективный аппарат описания мира не использующий казуальные принципы - формализм Лагранжа и Гамильтона. Действительно, тело теперь у нас движется по траектории, которая минимизирует некоторый функционал, в частности действие... Получается, что физика описывает как движется тело, но не объясняет почему. Аналогичная ситуация повторилась в квантовой механике, где интеграл по траектории Феймана описывает как частица из всех траекторий выбирает оптимальную, которая имеет в результате наибольший статистический вес, но ничего не говорит о причине, почему она это делает. https://habr.com/ru/articles/982964/

Поздравления со старым новым годом!* Пусть в новом году у вас и у всех ваших родных и близких всё будет нормально (Гаусс) Притягивайтесь друг к другу и сближайтесь (Исаак Ньютон) Пусть удача выталкивает вас вверх из любой ситуации (Архимед) Интегрируйте радость, а проблемы дифференцируйте до нуля! (Лейбниц) Пусть всё сходится и ничего не расходится (Коши) Пусть малые изменения приводят только к большим радостям, а траектории будут устойчивыми (Пуанкаре) Пусть любой жизненный шум разложится на гармоничные волны удачи (Фурье) Пусть всё, что кажется хаосом, на деле имеет структуру (Мандельброт) Пусть ваша удача будет бесконечной лентой — без начала, конца и изнанки (Мёбиус) Пусть все границы и проблемы будут компактными (Хаусдорф) Желаю, чтобы все пути оптимизировались автоматически (Беллман) Желаю найти оптимальное решение для всех задач нового года (Эйлер) Пусть вероятность успеха стремится к единице (Колмогоров) Пусть все проблемы будут разрешимыми, а каждый день — алгоритмом, который всегда заканчивается успешно (Тьюринг) Пусть всё будет хорошо доказуемо (Гильберт) Пусть даже у тупиков всегда находится продолжение (Гёдель) Пусть ваше настроение всегда будет положительно определённым (Сильвестр) Пусть ваш жизненный путь к успеху будет кратчайшим (Ферма) * Идея взята на канале "Математическая эссенция"

О принципе максимального производства энтропии и искусственном интеллекте Помимо четырех основных начал термодинамики есть ещё принцип максимального производства энтропии (Principle of Maximum Entropy Production, MEP), который утверждает, что из всех возможных путей эволюции система выбирает тот, на котором скорость роста энтропии максимальна. Этот принцип в общем случае является эмпирическим, так как доказан лишь для частных случаев. Если предположить что этот принцип всеобщий, то появление животных, потом человека и наконец искусственного интеллекта - это всего лишь наиболее эффективный путь к тепловой смерти вселенной...

Векторы в физике... В курсах физики (например, курсе общей физики Савельева) векторы определяются как величины, которые имеют длину, направление и складываются по правилу треугольника. Таким образом, если что-то из этих трёх свойств отсутствует, то это не вектор. Вопросы: 1. Вектор угла поворота и угловой скорости относительно оси являются псевдовекторами, их нельзя суммировать по правилу треугольника, но они замечательно используются в физике и это векторы... 2. Хотелось бы ещё примеры величин, которые имеют модуль и направление, но при этом не подчиняются правилу треугольника.

Почти всем приходилось решать задачу протаскивания крупной мебели по узким коридорам Корейский математик Пэк Джин-он решил известную геометрическую задачу «о перемещении дивана», над которой учёные бились почти шесть десятилетий. Задача, сформулированная в 1966 году математиком Лео Мозером, звучит просто: какая самая большая жёсткая фигура может повернуть за прямой угол в L-образном коридоре шириной 1 метр?   Десятилетиями исследователи предлагали различные варианты того, какой формы и максимальной площади мог бы быть такой предмет. Так, в 1968 году британец Джон Хаммерсли описал фигуру площадью около 2,2074 м². В 1992-м профессор Ратгерского университета Джозеф Гервер улучшил результат Хаммерсли и предложил изогнутую площадью примерно 2,2195 м². Однако доказать, что площадь фигуры не может быть ещё больше, до сих пор не удавалось. Пэк, научный сотрудник Центра математических задач имени Джун Э. Ху в Корейском институте перспективных исследований, потратил на исследование семь лет. В итоге он смог доказать, что фигура Джозефа Гервера оптимальна. В статье, опубликованной на препринт-сервере arXiv, он указал, что «диван, превышающий по размерам форму Гервера, невозможен» в рамках задачи. https://arxiv.org/abs/2411.19826 Статья на русском https://habr.com/ru/news/984358/

Интересное исследование об устойчивости клеток как систем Как известно жизнь клетки, это не только выполнение нужных реакций, но и постоянная борьба с хаосом. Внутри клетки происходит огромное количество химических реакций. Молекулы могут соединяться и распадаться десятками разных способов. Но клетке нужен только один правильный путь, чтобы: получать энергию, строить белки, расти и делиться. Все остальные реакции — вредные. Они тратят ресурсы и создают мусор. Чтобы выжить, клетка должна запретить большинству реакций происходить. Учёные нашли, что у этого запрета тоже есть цена. Раньше физики считали только то, сколько энергии тратится на сами полезные реакции. Но что бы остановить ненужные реакции, клетка тоже тратит энергию. Это как если бы я не только писал этот пост, но и постоянно следил за рядом других процессов, которые меня отвлекают, это тоже большие затраты. Таким образом, у клетки есть два вида затрат: 1. Энергия, чтобы реакции шли в нужном направлении. 2. Энергия, чтобы не дать другим реакциям происходить. Вторая часть — новая. Раньше её никто не умел считать. Далее учёные сравнили химические реакции с электрическими цепями: В этой модели: Поток вещества через реакции аналогичен электрическому току. Разность химических потенциалов работает как напряжение. Сами реакции выступают в роли резисторов, обладающих сопротивлением. Если оставить много путей — ток течёт легко. Если оставить только один — сопротивление растёт. Авторы математически доказали, что этот принцип справедлив и для химических сетей. Выделение (изоляция) узкого метаболического пути из более широкой сети всегда увеличивает эффективное сопротивление системы. Следовательно, для поддержания того же потока вещества через изолированный путь требуется приложить большую движущую силу (разность химических потенциалов), что ведет к большим энергетическим потерям. Это приводит к контринтуитивному выводу: вблизи равновесия специализация всегда энергетически невыгодна. Термодинамически системе удобнее использовать все доступные пути реакции, а не ограничивать себя одним маршрутом. Почему тогда клетки используют узкие пути? Потому что у них есть ферменты — специальные белки. Ферменты: ускоряют нужные реакции, уменьшают их «сопротивление», делают правильный путь выгодным. То есть ферменты — это как супер‑проводники, которые помогают клетке экономить энергию. Обнаружено, что вблизи точек бифуркации (неустойчивых состояний, где система может резко сменить режим работы) строгая иерархия затрат может нарушаться. В определенных условиях изолированный путь может оказаться термодинамически «дешевле», чем работа всей сети целиком, даже без учета действия катализаторов. Это открытие улучшает понимание добиологической эволюции. Оно подсказывает, как в первичном химическом бульоне могли спонтанно закрепляться устойчивые циклы реакций еще до появления сложных белковых катализаторов — просто потому, что в неравновесных условиях эти циклы оказывались термодинамически предпочтительными. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-5468/ae22eb https://www.ixbt.com/live/science/skolko-stoit-zhizn-fiziki-vpervye-rasschitali-skrytuyu-cenu-kletochnogo-metabolizma.html

Как большая языковая модель делает математические расчеты? Как известно, большие языковые модели не мыслят и не рассуждают, они лишь предсказывают следующий токен. Но при этом они умеют выполнять арифметику — и это вызывает вопросы. Как?! Кажется, что внутри модели должен быть встроенный калькулятор — но его нет. И здесь нам помогает новое научное направление "Исследование интерпретируемости", которое занимается изучением того, как обученная нейронная сеть решает задачи. Что же показало исследование? В нейросети нет единого «модуля сложения». Модель разбивает задачу на подзадачи: Например: оценка масштаба результата («около 90»), Вычисление последней цифры («6 + 9 → 5»), Сопоставление с известными шаблонами. Разные части сети выполняют разные микрофункции: грубая оценка, точная обработка разрядов, заученная таблица сложения однозначных чисел. Почему модель ошибается на длинных числах? У неё нет универсального алгоритма, как у человека. Она использует эвристики, а не правила. Поэтому: двух- и трёхзначные числа — работает отлично, длинные числа, необычные форматы — частые ошибки. И самое интересное! Почему модель «лжёт» о том, как она получила ответ!!! Если спросить, она опишет человеческий алгоритм («перенос разряда»). Но это не отражает реальных внутренних вычислений. Модель генерирует правдоподобное объяснение, потому что видела тысячи таких объяснений в данных. Это касается не только арифметики, но и рассуждений вообще. https://fferoz.medium.com/how-ai-really-thinks-and-why-it-feels-so-human-1b0d4a340c3a https://transformer-circuits.pub/2025/attribution-graphs/biology.html#dives-addition https://transformer-circuits.pub/2025/attribution-graphs/methods.html#graphs-addition https://habr.com/ru/companies/bothub/articles/983426/