Математические байки

А теперь — после всех этих блужданий (но, надеюсь, что-то интересное выяснив по пути), давайте вернёмся к исходным вопросам. И начнём с первого из них — как можно объяснить, что n! = \int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx ?

Вернёмся к одномерному процессу. Ещё одна вещь, которую мне про него хочется сказать, это что на него (как раз благодаря его одномерности) можно смотреть двумя разными способами: можно так, как мы описали, спрашивая, "сколько отметок в данном интервале". А можно — смотреть на расстояния между отметками (разности между последовательными точками): первая отметка в (случайный) момент T_1=x_1, второй после первой надо ждать второй случайное время T_2=x_2-x_1, ... — и все T_j независимы (ибо то, что уже распалось/не распалось, на то, что будет дальше, не влияет) и распределены как экспоненциальные с параметром λ: вероятность, что T_j больше t, это e^{-λt}.

Кстати — пуассоновский процесс можно рассматривать и не только на прямой. Скажем, представим себе, что наш радиоактивный материал как-то размещён на столе — а мы по прошествии минуты (или часа) отмечаем положения распавшихся атомов (не будем задумываться, как это можно реализовать технически). Тогда мы получим конечный набор точек — такой, что для маленького кусочка стола вероятность того, что точка там есть, это примерно масса лежащего там вещества*среднее число распадов на единицу массы за выбранный интервал времени. И дальше можно либо опять разрезать стол на маленькие кусочки — или сказать, что для непересекающихся областей расположения точек в них независимы, а количество точек в области A распределено по Пуассону с параметром "масса вещества в A*среднее число распадов за данное время на единицу массы". И ровно так работает общее определение пуассоновского процесса, построенного по неатомарной мере μ — где мы говорим, что число точек в области A распределено как π(μ(A)), а для непересекающихся областей подмножества в них независимы.

Итак, мы (чуть-чуть рукомахательно — переходя к пределу при N->\infty) выяснили, что вероятность получить k=0,1,2,... распадов за время 1 равна p_k = (1/k!) λ^k e^{-λ}. Определение. Такое распределение называется пуассоновским с параметром λ (и обозначается π(λ)). И вот отсюда пуассоновское распределение вообще появляется — как распределение "редких событий" — числа успехов в большом-большом числе испытаний, каждое из которых даёт очень маленький вклад, а в среднем получается λ. Стандартный пример из учебника — число запросов за минуту к АТС, если абонентов много, а каждый отдельный абонент решает позвонить именно сейчас с довольно небольшой вероятностью.

И все сомножители в правой части, кроме первого, это почти 1.

Потому что последний сомножитель это так и есть примерно e^{-λ}, а произведение первых двух можно переписать:

Ну и вообще, если нас интересует, с какой вероятностью на отрезке [0,1] произошло ровно k распадов — то нужно выбрать места, где они происходят, а это можно сделать C_N^k способами, и умножить это на вероятность каждой отдельной "конфигурации": k распадов (с вероятностью (λ/N) каждый) и N-k не-распадов. Итого получаем:

А с какой вероятностью у нас на этом отрезке будет отмечен ровно один распад? У нас N "делений времени", на которых он может произойти; на каждом вероятность, что он произойдёт, это (λ/N), да ещё нужно домножить на вероятность, что больше нигде распадов не будет, (1-λ/N)^{N-1}. Итого

(Да, тут коллеги ругаются на то, что на картинке выше точки слишком посередине каждого отрезка — так что вот улучшенная непрерывная версия!)

К фиксированному отрезку мы сейчас вернёмся — но вообще отсюда можно увидеть, что мы можем сказать про (случайный, как и всё остальное) момент первого распада T_1: вероятность того, что T_1>t, равна e^{-λt}. Это — экспоненциальное распределение с параметром λ. Оно обладает тем (естественно возникающим из независимости подбрасываний монетки) свойством, что если мы его ждём и за какое-то время t_0 оно ещё не произошло — то при этом условии распределение оставшегося времени ожидания такое же, каким распределение T_1 было исходно. Очень неприятно ждать автобус, если у него такое распределение времени прихода: вроде как ждали-ждали, а если он ещё не пришёл, то ждать остаётся (в смысле распределения) "столько же"!

А если мы будем смотреть не на отрезке длины 1, а на отрезке времени длины t — то вероятность будет e^{-λt}.

Поделим этот отрезок времени на очень большое число N частей (пусть 1/N это просто временное разрешение нашего самописца) — так, чтобы вероятностью получить два распада на одном отрезке можно было бы пренебречь. Тогда на каждом отрезке мы подкидываем монетку, на которой "есть распад" выпадает с очень маленькой вероятностью λ/N, и "нет распада" с оставшейся. Поэтому, например, вероятность того, что не было ни одного распада, равна (1-λ/N)^N, что при N->\infty стремится к e^{-λ}.

Пусть λ — среднее число распадов в единицу времени; его называют интенсивностью процесса. Как устроено распределение (случайного) числа отметок (распадов атомов) на отрезке времени от 0 до 1?

Можно сказать, что каждый отдельный атом за каждую микроскопическую долю времени подкидывает монетку с очень-очень-очень маленькой вероятностью, решая, распасться ли ему. Как мы знаем, предыдущие результаты подбрасываний на следующие не влияют; поэтому много-много "решек", которые выбросили все выжившие атомы, никак не влияют на то, как они будут жить дальше. Единственная тонкость, это что те атомы, которые распались, дальше не участвуют — но пока их счёт идёт на единицы, а образец у нас макроскопический (а число Авогадро 6.02*10^23), этим можно спокойно пренебречь.

Этот случайный набор точек это и есть пуассоновский [точечный] процесс [на прямой]; давайте посмотрим, что о нём можно сказать. Самое важное — это что количества (и расположения) точек на непересекающихся отрезках времени независимы; если у нас не было распадов за первую секунду — это никак не влияет на то, что будет во вторую, в третью, и так далее.

Процесс совершенно естественный, на самом деле. А именно: представим себе, что у нас лежит большой кусок радиоактивного вещества — и рядом стоит счётчик Гейгера, соединённый с самописцем. Каждый раз, когда счётчик засекает распад — самописец ставит точку-отметку на ленте. В результате на ленте получается — случайный! — набор точек: