Математические байки

Ух ты!!!

Рабочие записки: наш с Марком сегодняшний прогресс под кодовым словом « чудо ». На этой картинке изображены две гистограммы двух распределений, получающихся не самым простым образом. Одна нарисована розовым, а другая голубым. А что всё нарисовано малиновым — так это потому, что распределения на самом деле совпадают. Вчера мы заметили, что у них одинаковые матожидание и дисперсия. Это, конечно, ещё ни о чём не говорит. Но с учётом того, что они ещё и от параметров зависят, и вот буквально всегда матожидания и дисперсии совпадали — это начинало быть подозрительным. В смысле, что « скорее всего, нет, но проверить надо ». А сегодня ещё чуть-чуть подумали, и поняли, как это надо проверять. И буквально сразу получилась конструкция, из которой следует, что распределения и впрямь совпадают. Осталось всё это записать. 🙂

А В.Ю.Протасов в ЛШСМ два года подряд — в 2015 и в 2016 — читал курсы про обработку/разложение сигналов (как хранить или передавать картинки?). Второй из этих курсов заканчивался как раз всплесками Добеши — а вот картинка из его записок от этих курсов (которые несколько лет назад издали).

Я давно — три года назад — рассказывал ( https://t.me/mathtabletalks/1279 ) про её лекцию на ICM-2018: как у холстов возникают свои « отпечатки пальцев », и что мы благодаря этому знаем.

https://wolffund.org.il/2023/02/07/ingrid-daubechies/ премию Вольфа 2023 года по математике получает Ингрид Добеши за теорию всплесков (вейвлетов) и прикладной гармонический анализ

О, это замечательно!

https://t.me/sweet_homotopy/1765 и далее — про то, как рисовать тор, зачем ему рога, про складки и сборки…

Просто красивое: текущие рабочие картинки. Подробности будут, но потом. : )

Так вот, давайте увеличивать энергию нашей материальной точки, не переходя через энергию локального максимума — чтобы f не улетела в минус бесконечность. Тогда на « холм » перед пропастью точка будет вкатываться всё дольше — и всё дольше будет с него скатываться. А в пределе, поставив энергию в точности равной локальному максимуму U, мы получим решение, которое и в плюс, и в минус бесконечности будет стремиться к верхней точке « холма »! (Синий и фиолетовый графики — энергии, которым чуть-чуть не хватает до предельной. Красный — предельное значение.) Мы почти построили солитон… только вот стремится он на бесконечности не к нулю, а всего лишь к константе.

Давайте подумаем. Частота колебаний на разных уровнях энергии может быть разной — вот тут на E=0 (синий график) наложили колебания с E=-1 (малиновый).

Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=0 (зелёная линия) — то он будет колебаться взад-вперёд в потенциальной яме. Это уже лучше — потому что мы всё-таки получим решение, которое просто едет вперёд с постоянной скоростью. Но это не « одна волна », оно периодично и потому отказывается убывать на бесконечности!

Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=3 (малиновая линия) — то он просто улетит в минус бесконечность. То есть вместо настоящего солитона f(x) у нас будет что-то, уходящее в минус бесконечность на конечной области переменной x. И это совершенно не то, что хочется.

Давайте для каких-нибудь разумных констант нарисуем график потенциальной энергии. Скажем, пусть c=1, A=-1/2. Вот соответствующий график « потенциальной энергии » U(f)=f^3 - f^2 - 2f

Первое замечание — мы только что научились решать (ну, с использованием « волшебной палочки » в виде неопределённого интеграла, но это в этой науке традиционно) одномерные автономные дифференциальные уравнения первого порядка. А сводя к ним с помощью закона сохранения энергии — и одномерные уравнения классической механики (уравнения Ньютона). Второе — что вообще-то мы пока ничего не понимаем, потому что у нас остался тот самый неопределённый интеграл, на который мы даже не посмотрели… Так что до того, как дальше возиться с формулами, хорошо бы понять геометрию происходящего.

Итак, (1/2) f_x^2 + U(f) = E, где E — (ещё одна неизвестная) константа. Это позволяет выразить (с точностью до знака) « скорость » f_x через « положение » f, df/dx = f_x = \pm \sqrt{2 (E-U(f))}. Иными словами, нам известна (ну, с точностью до знака) « скорость » f_x в любом « месте » f. Значит, мы знаем, сколько « времени » x нужно, чтобы пройти от одного значения f до другого: время в пути это интеграл по пути от единицы на скорость. Иными словами, если домножить на dx и поделить на выражение для f_x, получится df/ \sqrt{2 (E-U(f))} = \pm dx, и интеграл в левой части это функция от f, а в правой от x.

Потенциальная энергия U(f) = f^3 - 2c f^2 + Af, и следующий шаг тут — стандартный при работе с уравнением Ньютона: закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии, (1/2) f_x^2 + U(f), не зависит от x. Можно, конечно, проигнорировать физический смысл происходящего и просто сказать, что мы домножаем уравнение на f_x, после чего опять оно оказывается производной по x — как раз от « полной энергии ». Потому что f_x f_xx это как раз производная от (1/2) f_x^2, ну а -F(f) f_x получается при дифференцировании U(f(x)).

Во-вторых, уравнение (давайте его сразу на 4 умножим) f_xx = F(f), где F(f) = - 3 f^2 + 4c f + A — это уравнение Ньютона: движение материальной точки f(x) в поле сил F(f), отвечающего потенциальной энергии U(f), для которой F(f)=-U’(f). Только роль времени играет координата x!

Во-первых, можно заметить, что выражение выше это производная по x от чего-то явного. Потому что f * f_x = (f^2/2)_x; и в сумме выражение это производная от -c f + (3/4) f^2 + (1/4) f_xx. И раз производная равна нулю — то это выражение равно (неизвестной) константе.

Давайте теперь посмотрим, как можно искать солитонные решения? Солитон движется, сохраняя свою форму. То есть нас интересует решение, которое просто движется вперёд с фиксированной скоростью c. Это значит, что производная u_t это просто -c*u_x. И наоборот, если в начальный момент времени у нас выполнено равенство u_t = -c * u_x (и мы верим в единственность решения), то решение и дальше « поедет со скоростью c », будет иметь вид u(t,x) = u(0,x-ct). И вот мы и получаем уравнение на профиль f(x)=u(0,x) солитона: нужно просто заменить u_t на -cu_x в уравнении КдФ. Итого: -c f_x + (3/2) f f_x + (1/4) f_xxx = 0. Будем решать? (Сейчас окажется, что всё вполне решается, причём с интересными промежуточными шагами.)

Добавлю (к пересылаемому) от себя — Тадаси совершенно прекрасен! Очень много что я узнал в первый раз от него, включая истории про приливы, про муары (как раз то, что я тут рассказывал), и так далее.