Математические байки

Так вот — рассуждение выше это альтернативный способ завершить доказательство. А именно: в модели Пуанкаре прямые это дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту — в частности, они сохраняются при инверсии относительно абсолюта. Значит, раз те три окружности, дуги которых это диагонали шестиугольника в модели Пуанкаре — раз они пересекаются в одной точке Y, то они пересекаются и во второй точке Y' — в её инверсном образе относительно абсолюта. А это как раз условие применимости заключительной формулировки.

А ещё — последний шаг рассуждения в том видео это (очень красивый!) переход от модели Пуанкаре к модели Клейна. Этот переход — тождественен на абсолюте (на граничной окружности) и переводит прямые в модели Пуанкаре (т.е. дуги окружностей, перпендикулярных абсолюту) в прямые в модели Клейна (т.е. хорды, соединяющие точки абсолюта). И раз три прямых пересекались в одной точке в модели Пуанкаре — их образы пересекаются в одной точке в модели Клейна. Image credit: The Seven Circles Theorem, https://youtu.be/m9v0h2ibYpo?t=1063

(картинка к рассуждению выше)

Видео очень, очень крутое; давайте я к нему добавлю пару слов. Теорема о семи окружностях говорит, что если внутри (или снаружи) одной окружности есть "кольцо" из шести её касающихся, в котором каждая касается следующей, то хорды, соединяющие противоположные точки касания, пересекаются в одной точке. Так вот — можно заметить такую странную вещь. Условие у теоремы сохраняется при применении инверсий (и их композиций). Потому что инверсии переводят окружности в окружности. А в заключении есть прямые — и это понятие не-инвариантно! Зато можно сказать, что прямая это окружность, проходящая через бесконечно удалённую точку. Поскольку любую точку можно унести на бесконечность инверсией с центром в ней — то мы приходим к тому, что должно бы быть справедливо вот такое утверждение: если на окружности отмечены точки ABCDEF, для которых хорды AD, BE и CF пересекаются в одной точке P, то и для любой точки X окружности ADX, BEX и CFX пересекаются в ещё одной общей точке f(X). Причём преобразование f:X->f(X) — инволюция, этакая "мнимая инверсия": композиция инверсии с центром в P и гомотетии с тем же центром с отрицательным коэффициентом, чтобы точки ABCDEF перешли в себя (такой есть, потому что теорема о пересекающихся хордах). И — собственно, вида преобразования f выше как раз достаточно, чтобы это утверждение доказать: ведь так заданное отображение f переводит в себя точки ABCDEF, а также каждую из окружностей ADX, BEX, CFX (потому что переходят в себя две точки + сохраняются углы между окружностями). С другой стороны, у исходных окружностей была общая точка X, значит, у [совпадающих с ними] окружностей-образов есть общая точка f(X). Более того, опять же, унося инверсией одну точку (Y' ниже) на бесконечность, можно дойти вот до такой формулировки, уже совсем инвариантной относительно инверсий: Если на окружности отмечены точки ABCDEF, для которых хотя бы для любой одной точки Y вне неё три окружности ADY, BEY и CFY пересекаются в ещё одной точке Y', то и для любой точки X три окружности ADX, BEX и CFX пересекаются в ещё одной общей точке f(X). (В частности, в одной точке P пересекаются и хорды AD, BE и CF — что соответствует бесконечно удалённой точке X.)

видео с доказательством теоремы о семи окружностях при помощи гиперболической геометрии: https://youtu.be/m9v0h2ibYpo ( ранее на тему теоремы о семи окружностях: https://t.me/geometrykanal/1920 )

Вчерашний (!) препринт А.А.Гайфуллина: к этому списку добавилось 634 "симметричные" (у которых группа симметрий позволяет перевести любую вершину в любую) — и... >10^103 "не очень симметричных"!

Так вот — до недавнего момента не-сфер с n=3(d/2)+3 было известно ровно 5. - d=2: одна 6-вершинная триангуляция RP^2 как фактор икосаэдра по центральной симметрии (и известно, что больше ничего нет) - d=4: одна 9-вершинная триангуляция CP^2 (и известно, что больше ничего нет) - d=8: три 15-вершинные триангуляции HP^2 (построены давно, а вот то, что это именно HP^2, а не просто что-то "похожее", доказал Денис Городков).

какие бывают нетривиальные (отличные от сферы) триангулированные d-мерные многообразия, у которых мало вершин? оказывается (Brehm-Kühnel, 1987), тогда количество вершин хотя бы 3(d/2)+3, причем равенство возможно только при d=0,2,4,8,16 — и в этом случае многообразие похоже на соответствующую проективную плоскость (в т.ч. имеет такие же когомологии) для d=2 картинка с 6-вершинной триангуляцией вещественной проективной плоскости была здесь неделю назад для d=4 соответствующая 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости уже очень нетривиальна, она была найдена с использованием компьютерного перебора (Kühnel, 1980) — и про получившуюся конструкцию можно почитать обзор «The 9-vertex Projective Plane» (W.Kühnel, T.F.Banchoff; Math. Intelligencer 5, p. 11–22 (1983)) продолжение следует

Разговорился с Гайфуллиным после его лекции, он рассказал прекрасное. У многообразий бывают триангуляции. Берём — и пытаемся их "отполигонить", разбив на симплексы. Логично, что "сложные" многообразия просто так не триангулируешь. Собственно, если вершин n "слишком мало" (относительно размерности d), то триангулировать так вообще можно только сферу — и граница проходит тут по n=3(d/2)+3. Если меньше, то точно сфера, а если ровно, то иногда бывает "похоже" на проективную плоскость (над R, C, H, O).

После лекции...

https://youtu.be/jmw2JIzbSO8 утром в среду (20.07, 9:30) А.А.Гайфуллин будет на Летней школе «Современная математика» читать лекцию про случайные разрезы и распилы — и планируется ее прямая трансляция «В геометрии довольно много красивых вероятностных сюжетов, связанных с вопросами о том, как выглядит «типичный» объект какого-либо вида. Например, пусть пространство случайным образом рассечено на части плоскостями; получилось много выпуклых многогранников. * Сколько граней в среднем будет у такого многогранника? * Какой будет средняя величина двугранного угла такого многогранника? * Рассмотрим только те части разбиения, которые являются тетраэдрами. Какой будет средняя величина двугранного угла такого тетраэдра? (Один из этих трех вопросов тривиален — подумайте, какой...) Я постараюсь рассказать, как ставить и решать некоторые задачи такого рода (…) и, вообще, как воспринимать вероятность в геометрии и работать с такими понятиями, как «случайная точка», «случайная прямая» (…). В качестве приложения я расскажу вероятностное доказательство знаменитой формулы Шлефли. Лекция будет доступна школьникам.»

Трансляция началась.

И вот анимация, которая делает это очевидным: https://www.geogebra.org/classic/hjeyz3cr

Циклоиду заметает камушек, застрявший в катящемся колесе. Давайте в каждый момент времени спроецируем камушек на вертикальный (в этот момент времени) диаметр циклоиды. Такая проекция движется по синусоиде: за время t колесо повернётся на угол t (пусть угловая скорость единичная), и поэтому высота камушка будет (1-cos t)R — ну а проедет оно расстояние tR. Площадь под синусоидой найти не штука — получается 2πR^2, потому что половина площади прямоугольника 2R x 2πR, в который она "вписана" и который она разбивает на две равные части. А сколько остаётся на "лепестки"? Оказывается, ровно площадь круга, πR^2. Ведь горизонтальная "нарезка" позволяет из каждого из "лепестков" собрать по половине круга, сдвинув точку синусоиды на одну и ту же вертикаль. Итого, ответ: площадь под аркой циклоиды равна 2πR^2+πR^2=3πR^2, то есть втрое больше, чем площадь самого катящегося колеса.

На Мат.Этюдах недавно вышел ролик "Параллелограмм", в комментариях к которому есть абзац: === В 1669 году в Парижской академии наук Жиль Роберваль продемонстрировал весы, показания которых не зависели от положения груза на чашках. Кстати, это тот самый Роберваль, который вычислил площадь под аркой ⁠⁠циклоиды, сведя эту площадь к площади под синусоидой (так называемые «лепестки Роберваля», см. брошюру Берман Г. Н. «Циклоида»). === Что такое эти лепестки, я не знал — а оказывается, история простая, красивая и наглядная. А именно: как найти площадь под циклоидой?

https://youtu.be/w3CufD2h_y8 напомним большое интервью Николая Николаевича, которое взял Дима Швецов

Открывающий слайд с доклада Светланы Житомирской на ICM:

А похожесть утверждений из курсов Берштейна и Смирнова совершенно не случайная — но это то, на чём я собираюсь остановиться.

Ну и разумеется, сразу вспоминается курс Е. Ю. Смирнова 2019 года про фризы. В какой-то момент я про него писал (тут — я объединю ниже несколько сообщений): == А именно — мы пытаемся расставлять числа в (повёрнутой на 45 градусов) квадратной решётке так, чтобы в любом квадрате разница произведений лево*право и верх*низ равнялась бы 1, начиная с двух горизонталей сначала из 0, потом из 1: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 5 5 4 3 Следующий ряд ещё понятно, как заполнить: произведение соседей минус 1: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 5 5 4 3 14 24 19 11 Но "почему-то" результат и дальше остаётся целым: скажем, в квадрате с верхней вершиной 5 и боковыми 14 и 24 в нижнее число мы должны вписать (14*24-1)/5 — и оно делится нацело! И чем глубже мы спускаемся, тем больше становятся числа, и тем удивительнее делимость... == А ещё с тех пор вышла как статья Е. Ю. Смирнова в номере Кванта, посвящённом памяти Конвея (с ящерицей-живым клеточным автоматом на обложке!), так и дубнинская брошюра — издание записок его курса.

Помимо всего прочего, можно вспомнить OEIS — и посмотреть, скольких начальных членов последовательности Сомоса хватит, чтобы найти соответствующую запись. На всякий случай: энциклопедия целочисленных последовательностей это реально очень полезный инструмент математика, и один из основных шагов в одной из лучших работ с моим участием (наша работа с Вадимом Гориным) получился именно благодаря рефлексу "видишь целочисленную последовательность? посмотри, нет ли её в энциклопедии!".