Математические байки

А вот за вершину (если она в неё попадает) геодезическую продолжить нельзя — точно так же, как с траекториями в бильярде внутри многоугольника. Собственно, геодезические на многогранниках и бильярды в многоугольниках — исключительно близкие сюжеты.

Ну и тут можно вспомнить задачу — кажется, из Гарднера? — про то, как мухе проползти по кубу по кратчайшему пути из вершины в диаметрально противоположную, и какой длины будет этот путь.

Довольно понятно, что такое геодезическая — локально кратчайшая линия, или, что то же самое, линия, идущая по прямой на каждой грани, а при переходе через ребро продолжающаяся так, чтобы на развёртке, где эти две грани развёрнуты на плоскость, выглядеть прямой:

Написал (https://nplus1.ru/material/2020/09/24/dodecahedron ) про недавние работы J. Athreya, D. Aulicino и P. W. Hooper о замкнутых геодезических "из вершины в себя" на додекаэдре — https://arxiv.org/abs/1802.00811 + https://arxiv.org/abs/1811.04131

файл книги Пьера Деорнуа про сюрреальные числа Конвея и другие игры (по его курсу на ЛШСМ) теперь доступен на странице https://mccme.ru/dubna/books/ купить бумажную книгу с цветными картинками тоже, разумеется, можно — https://biblio.mccme.ru/node/5911/shop

На всякий случай -- это я отфорвардил ещё августовское сообщение, но сейчас очень в тему.

поздравляем А.А.Логунова с премией New Horizons in Mathematics «For novel techniques to study solutions to elliptic equations, and their application to long-standing problems in nodal geometry.»

Отсюда — https://www.turgor.ru/lktg/1996/lktg1996.pdf ; Алексей Брониславович до сих пор вспоминает, как я его там оставил без десерта (поймав за обедом с вопросами обо всём об этом — так что десерт прошёл мимо него). А под конец лета я с упоением читал их с Прасоловым книгу "Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия" — https://www.mccme.ru/free-books/prasolov/knots.pdf

Для меня полином Джонса был одним из первых знакомств с "большой математикой". На Летней Конференции Турнира Городов в 1996 году в Угличе одна из задач была посвящена как раз инвариантам — сначала кривых на плоскости, которые нельзя "ломать", а потом и инвариантам узлов:

Для одного из них он равен t+t^3-t^4, а для другого t^{-1}+t^{-3}-t^{-4}. Поскольку эти полиномы разные — то и узлы разные. Кстати, отсюда легко угадать, что при зеркальном отражении узла (или зацепления) в полиноме Джонса t заменяется на t^{-1}.

Я в какой-то момент тут писал про другой инвариант узла, число правильных трёхцветных раскрасок. Это число, например, позволяет доказать, что узел-трилистник нельзя развязать (ибо значения инварианта на трилистнике и на незаузленной окружности разные). Но число трёхцветных раскрасок не может отличить узел от его зеркального отражения — так что правый трилистник от левого оно не отличает. А полином Джонса — отличает!

Полином Джонса — инвариант узла, который даёт даже не число, а целый многочлен. Правда, тут нужно добавить, что многочлен не просто, а многочлен Лорана, то есть с отрицательными степенями; более того, для зацеплений — если связных компонент несколько — он становится многочленом от t^{1/2} (а именно, если компонент нечётное число, то в полиноме Джонса есть только целые степени, а если чётное, то только полуцелые).

http://mi.mathnet.ru/mp41 в качестве введения в тему узлов и их инвариантов (в т.ч. полинома Джонса) — статья Дужина и Чмутова в Мат. просвещении

Vaughan Jones (31.12.1952–06.09.2020) новозеландский математик, лауреат премии Филдса; многие слышали, надо полагать, про полином Джонса узла «In 1984 Jones discovered an astonishing relationship between von Neumann algebras and geometric topology. As a result, he found a new polynomial invariant for knots and links in 3-space. (…) As time went on, it became clear that his discovery had to do in a bewildering variety of ways with widely separated areas of mathematics and physics (…). These included (in addition to knots and links) that part of statistical mechanics having to do with exactly solvable models, the very new area of quantum groups, and also Dynkin diagrams and the representation theory of simple Lie algebras. The central connecting link in all this mathematics was a tower of nested algebras which Jones had discovered some years earlier in the course of proving a theorem which is known as the “Index Theorem”.»

онлайн-школа по топологии и геометрии и приложениям с пятницы по воскресенье https://cs.hse.ru/ata-lab/tga

Ещё про код Хэмминга — совершенно прекрасное видео от 3blue1brown в двух частях: https://www.youtube.com/watch?v=X8jsijhllIA + https://www.youtube.com/watch?v=b3NxrZOu_CE