Математические байки

Первый (самый простой) вопрос из лекции Гаянэ: есть N красных и N зелёных точек в общем положении на плоскости. Всегда ли их можно разбить на пары попарно непересекающимися отрезками?

К завтрашней лекции Гаянэ Паниной две задачи: 1) всякая плоская фигура может быть разделена двумя прямолинейными разрезами на четыре равные по площади части; 2) не всякая плоская фигура может быть разделена тремя прямолинейными разрезами на семь равных по площади частей.

Лекция начинается через ~5 минут

А вот оглавление первого выпуска, которое я тут уже выкладывал.

Из предисловия к материалам общематематического семинара "Глобус": Всего пару столетий назад жили люди, понимавшие всю существовавшую в то время математику, да пожалуй и физику. Сто лет назад –– почти всю. Сейчас, как бы лучшие ученые мира ни стремились уподобиться в этом величайшим из своих предшественников, это стало совершенно невозможно. Более того, даже математики, специализирующиеся в той или иной области, зачастую совсем не отдают себе отчета в том, чем занимаются их коллеги. Как ни печально, разобщение и специализация –– одна из тенденций развития всей современной науки, и было бы наивно надеяться, что математика станет исключением из общего правила. И вот, именно поэтому, у профессоров Независимого Московского университета возникло заведомо безнадежное желание с этой тенденцией побороться https://www.mccme.ru/free-books/globus/globus1.pdf

Конечно же, ответы на эти три вопроса совпадают не случайно (точно так же, как рассказ я не случайно назвал "байка о трёхглавом драконе"). На самом деле это — один и тот же вопрос. А вот почему, я расскажу в следующий раз.

Итак, n=2 — ответ 1, n=3 — ответ 3.

Поэтому таких кубических многочленов 3.

А вот для p нам понадобится кубический корень, потому что (c_1-c_2)^2 = const * p^3

То есть a_0=q определяется однозначно как полусумма c_1 и c_2.

P(z)=z(z^2+p)+q; в скобке в обоих случаях стоит (2p/3), поэтому критические значения это

Его критические точки это корни уравнения P'(z)=0, т. е. 3z^2+p=0. То есть это

Когда n=3, мы смотрим на кубический многочлен P(z)=z^3+pz+q (я обозначу p=a_1 и q=a_0, чтобы формулы легче читались).

Посмотрим теперь на третий вопрос, опять же, посчитав при небольших n. Когда n=2, мы смотрим на квадратный трёхчлен P(z)=z^2+a_0 с заданным критическим значением c. Такой трёхчлен единственен: a_0=c.

1,3,16 — что-то напоминает, не правда ли?

Если τ_1 переставляет два соседних по циклу числа, например, τ_1=(12), то в левой части мы увидим цикл длины 3: (12)(1234)=(234). И его, как мы уже знаем, можно представить в виде произведения соседних 3 способами. А если τ_1=(13) или τ_1=(24), то произведение "разрезает" цикл в две транспозиции, (13)(1234)=(12)(34) и тут вариантов 2 — в каком порядке их перемножать. Итого способов: 4*3+2*2=16.

После этого для каждого варианта τ_1 у нас будет вопрос, "сколькими способами произведение в левой части можно разбить в произведение двух транспозиций". И тут количество будет зависеть от τ_1.