Математические байки

(кадр из https://youtu.be/xdIjYBtnvZU?t=1129 )

Этого ещё не хватает — нужно добавить, что по этой окружности в этой параметризации (по углу из Солнца) конец вектора скорости движется равномерно (что мы, собственно, рассуждением выше тоже доказали), и использовать это, чтобы вернуться обратно и построить орбиту.

Доказательство: запараметризуем орбиту вместо времени углом из Солнца. Производная скорости по углу будет направлена по радиус-вектору — и будет пропорционально произведению силы притяжения на время на прохождение заданного угла (ну то есть обратно пропорционально угловой скорости). * Сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния, ибо закон всемирного тяготения; * Время на прохождение угла прямо пропорционально квадрату расстояния, ибо второй закон Кеплера a.k.a. закон сохранения момента импульса (площадь равнобедренного треугольника с фиксированным углом при вершине пропорционален квадрату его боковой стороны). И вот квадрат расстояния сокращается — и в такой параметризации производная по углу (жёлтый вектор на рисунке выше) постоянна по модулю. Интегрируя — как раз и получаем, что конец вектора скорости ходит по окружности, правда, с центром где угодно (ибо "плюс константа").

(Кадр из https://youtu.be/xdIjYBtnvZU?t=953 )

И чуть-чуть перескажу это видео своими словами — но его стоит посмотреть целиком, оно очень хорошо сделано. Основной шаг (который очень хорошо запоминается!) там такой: давайте отложим от начала координат вектора скоростей планеты в разные моменты времени. Теорема: это окружность — правда, с центром не в начале координат. (Ещё можно сказать, "годограф скоростей круглый")

к картинке про эллипс выше 1) слайды про оптическое свойство и прочее 2) видео https://youtu.be/xdIjYBtnvZU про то, как такая геометрия связана с эллиптичностью орбит планет

появление эллипса на круглом листе бумаги ( via vk.com/thebeautyoftruth )

А ещё это утверждение связано с эллиптичностью орбит. И давайте я тут процитирую коллег:

И в таком виде на это проще всего смотреть в обратную сторону — взять такой эллипс, провести касательную к нему в какой-то точке Q, и отразить отрезок AQ относительно неё. Получающийся отрезок PQ попадает на продолжение отрезка BQ (ибо свойство эллипса), а значит, расстояние BP как раз равно сумме расстояний до фокусов: BP=QA+QB=const Поэтому точка P бегает как раз по окружности с центром во втором фокусе B (а радиус этой окружности — длина нити, использованной при построении эллипса).

Правда, мне это утверждение чуть больше нравится в варианте, получаемом сжатием в два раза: огибающая серединных перпендикуляров к отрезку AP это эллипс, фокусы которого это A и центр окружности.

Давайте я ещё чуть-чуть порекламирую Этюды: вот тут ( https://etudes.ru/sketches/ellipse-envelope/ ) анимация, в которой эллипс появляется как огибающая. А именно — если взять окружность, по которой бегает точка P, и точку A внутри неё — то огибающая перпендикуляров к AP в точке P будет эллипсом, касающимся этой окружности и с A как одним из фокусов:

https://t.me/cme_channel/478 напомним про материалы Второй школы 60-х годов и на списки преподавателей интересно, да, посмотреть — напр., https://www.mathedu.ru/text/matshkola_lektsii_i_zadachi_v1_1965/p43/

Владимир Федорович Овчинников (04.10.1928–10.11.2020) легендарный директор Второй школы (с основания и до 1971 г. и в 2001–2020 гг.)

А вот это доказательство в "Математическом дивертисменте" Табачникова-Фукса.

И именно с этим связано то, что соприкасающиеся окружности на отрезке кривой, где радиус кривизны меняется монотонно, оказываются вложены друг в друга. Потому что если рассмотреть кривую Г как эвольвенту её кривой центров Г', то изменение радиуса кривизны это длина соответствующей дуги кривой Г' ("на сколько размоталась верёвка"), а само смещение центра это хорда этой дуги. Поэтому расстояние между центрами соприкасающихся окружностей меньше разности их радиусов — и вот и вложенность!

А линия уровня для одной такой суммы называется эвольвентой (рис.: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Evolvente-parabel.svg#/media/File:Evolvente-parabel.svg ) ; что совершенно естественно, центром кривизны эвольвенты в какой-нибудь точке является точка касания нитки с исходной кривой в соответствующий момент: мгновенным образом нитка "крутится" именно вокруг неё. Поэтому (локально) обратная операция к построению эвольвенты это взятие множества центров кривизны — которое называется эволютой .

Да, физическое рассуждение тут можно заменить на вот какое: если зафиксировать на дальней дуге эллипса некоторую точку, то полная длина нитки это длина пути "отрезок+дуга" с одной и с другой стороны. А если посмотреть на градиент одного из двух слагаемых, то это как раз и будет единичный вектор, направленный по соответствующему отрезку (правда, в направлении от точки касания, потому что градиент, а не минус градиент). Ну и градиентом суммы будет сумма градиентов — как раз вектор, направленный по биссектрисе (но наружу). А линия уровня перпендикулярна градиенту.

А это уже простой геометрический факт: если отразить отрезки из фокусов в точки касания относительно касательных, то появятся два равных по трём сторонам треугольника: