Математические байки

Наверное, многие уже успели увидеть вот эту древнюю таблицу умножения —

И это, кажется, хороший момент на сегодня прекратить дозволенные речи.

Ну вот, мы двумя способами и увидели множитель в формуле Стирлинга — а заодно посмотрели на центральную предельную теорему.

И сумма двух величин, распределённых как гамма с параметрами a и b соответственно, оказывается распределённой как гамма с параметром a+b. А мы выше видели частных случай этого — для параметра a=1, который даёт просто экспоненциальное распределение.

Да, а вообще такие распределения — плотность как у гамма-функции, нормированные на единицу — называют (логично) гамма-распределениями:

И вот почему в приближении там дисперсия n: потому что это сумма ~n одинаково распределённых слагаемых, каждое с дисперсией 1 — а дисперсия складывается.

Вот почему функция под интегралом превратилась в гауссово распределение — сумма (n+1) величины и должна себя вести как нормальное распределение, это и говорит ЦПТ!

То есть n! в знаменателе — тот самый, который мы приближаем, а x^n e^{-x} — та самая функция, что под интегралом в гамма-функции.

Поэтому сумма (n+1) такой случайной величины имеет плотность (x^n/n!) e^{-x}.

Но экспоненты в произведении дают e^{-x}, а объём тетраэдра x_1+...+x_{n+1}=x как раз и равен x^n/n!.

Плотность суммы независимых случайных величин это свёртка плотностей:

Так вот — возьмём (n+1) случайную величину с таким распределением, и сложим.

(Кстати, если случайное время до какого-нибудь хорошего события — например, до прихода троллейбуса — распределено именно так, то это бывает грустно. Ведь если мы подождали, скажем, 10 минут, а троллейбус всё ещё не пришёл, то условное распределение того, сколько нам ещё остаётся ждать, ровно такое же.)

Давайте возьмём распределение с плотностью e^{-x} на [0;+\infty) — его (логично) называют экспоненциальным распределением.

Ну, почему в числителе минус y^2, понятно: значение мы вычли, линейного слагаемого у ряда Тейлора в точке максимума не бывает, а вторая производная будет отрицательна. Пополам там тоже тейлоровский. А вот почему модуль второй производной оказался равен именно n, а не, скажем, n^2?

Но всё-таки, а откуда в гамма-функции ЦПТ, почему у нас тот самый гауссов интеграл получился?

А значит, до деления он и равнялся \sqrt{2\pi n} — вот мы и видим, что у плотности нормального распределения он в знаменателе, а в формуле Стирлинга в качестве множителя.

Поделить — чтобы интеграл был единицей (ибо это полная вероятность).