Математические байки

Давайте попробуем одну из этих "завитушек" увеличить —

Это не совсем то возмущение, что в статье — я тут сильно меньше увеличиваю меняемый элемент цепной дроби, чем надо; может быть, поэтому мы видим этакие "завитушки" — зато получается как раз похоже на то "закручивающееся мелькание", которое мы в анимации Мэтта Хэндерсона иногда видим.

А вот тут уже всё честно — заменили золотое сечение на некоторое близкое α':

Давайте посмотрим на пару точных картинок рядом с α-золотым сечением. Вот тут, каюсь, я сжульничал и для большей похожести на картинку статьи перепрыгнул в одну из соседних компонент (как раз в точке, отвечающей рациональному приближению к золотому сечению):

Кстати, такой трюк — счётное число последовательных поправок, чтобы что-нибудь обеспечить в пределе — применяется довольно часто (собственно, на классическую канторову диагональ можно смотреть как на пример его применения).

Так что где-то в том "мелькании разрезов", которые мы видели на исходной анимации — появляются и построенные — в 2006 году, совсем не так давно — такой процедурой множества Жюлиа положительной меры. (Ну и я, конечно, замёл какое-то число деталей под ковёр...)

Остаётся повторить такую процедуру счётное число раз — и обеспечить, чтобы заполненное множество Жюлиа для такой последовательности α_n становилось бы всё более "изрезанным" — но чтобы на каждом шаге на эти разрезы терялась всё меньшая и меньшая часть площади. Тогда в пределе заполненное множество Жюлиа совпадёт со своей границей — с настоящим множеством Жюлиа — а мера у него всё ещё будет положительной. И ура!

А что будет, если вместо того, чтобы обрубать совсем, мы заменим какой-нибудь большой по номеру элемент цепной дроби на огромное число — но цепная дробь после него останется? С одной стороны, если это число и впрямь совсем-совсем огромное — то новое α' настолько близко к соответствующему p/q (как если бы мы в этом месте цепную дробь обрубили), что "клювы" неустойчивости (которые не принадлежат заполненному множеству Жюлиа) почти останутся — так что заполненное множество Жюлиа будет ими "прорезано". С другой — за счёт "хвоста" новое число α' всё ещё (асимптотически) плохо приближается рациональными — так что мы всё ещё увидим диск Зигеля, просто его граница начала заходить внутрь диска для исходного α. И вот картинка из их статьи —

Теперь давайте обрубим цепную дробь α где-то глубоко-глубоко, получив вместо α близкое к нему рациональное число с огромным знаменателем q. Тогда мы получим параболическую точку, от которой будут убегать q узких "клювов неустойчивости" (таких же, как зазор между ушами и телом у "толстого кролика")

И идея, собственно, очень простая и красивая. Давайте начнём с r (которое у них α), которое бы плохо приближалось рациональными. Например, с α, которое было бы золотым сечением. Тогда заполненное множество Жюлиа содержит диск Зигеля — который мы уже видели — и потому имеет положительную меру. А неподвижная точка сидит "в центре" этого диска — вокруг неё "всё крутится".

Так вот — всего, что мы сейчас увидели, достаточно, чтобы (в общих чертах) посмотреть, как Xavier Buff и Arnaud Cheritat построили (см. https://arxiv.org/pdf/math/0605514.pdf ) пример — причём как раз на главной кардиоиде:

Долгое время был открытым такой вопрос: может ли множество Жюлиа у полиномиального отображения иметь положительную меру? Этот вопрос был бы тривиальным, если бы его задавали про заполненное множество Жюлиа — про те точки, которые не убегают на бесконечность. Например, для z^2 это (замкнутый) единичный диск. Но — его спрашивали про настоящее множество Жюлиа, то, на котором динамика хаотична — иными словами, про границу заполненного множества Жюлиа. Скажем, для z->z^2 это просто единичная окружность — конечно, имеющая меру ноль (то есть "занимающая нулевую площадь").

И по тропинкам, которые начинаются с этого вопроса — который почти автоматически возникает при взгляде на ту анимацию, с которой я весь этот рассказ начал — мы сейчас попробуем пройти.

Ну хорошо, если λ=exp(2πi r), и r рациональное, то мы ответ более-менее знаем. Если r иррациональное и рациональными числами плохо приближается — тоже. А если хорошо? Если, к примеру, r это классический пример трансцендентного числа — сумма ряда \sum_n 1/10^{n!} ? Если коротко, то "всё интересно" (и тут есть слова "точка Кремера" ).

А вот его же изображение из той же Википедии — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Quadratic_Golden_Mean_Siegel_Disc_IIM.png