Математические байки

Вот. С Новым Годом!

И — теорема Эмха тоже может быть доказана с помощью инвариантной меры. А именно — нужно взять в качестве плотности величину 1/\sqrt{|f_0(x) f_1(x)|}, где f_j — степень точки x относительно окружности α_j Очень похоже на обратную величину к длине касательной, то есть 1/\sqrt{f_0(x)}, которая была в теореме Понселе! А цитата на картинке — из статьи Universal measure for Poncelet-type theorems, E. A. Avksentyev and V. Yu. Protasov, Proc. Amer. Math. Soc. 146 (2018); см. https://arxiv.org/pdf/1610.00276.pdf

(Иллюстрация к теореме Штейнера — опять же из слайдов лекции Протасова, http://www.mathnet.ru:8080/PresentFiles/19870/protasov_poncelet.pdf )

Почему из этой теоремы всё следует? Если окружность α_1 станет большой-большой (и далеко-далеко), то окружности, которые её касаются, рядом с δ ("в конечной области") вырождаются в прямые — и вот мы получаем теорему Понселе для окружностей δ и α_0. Если окружности α_0 и α_1 концентрические, то окружности, которые их касаются, имеют центры на третьей окружности α' и фиксированный радиус d. И вот теорема о кузнечике для δ и α' с шагом d. Наконец, для теоремы Штейнера все точки касания лежат на одной окружности δ (ибо это так для концентрических + инвариантность относительно инверсий).

Здесь проведены целых три окружности — через точку "средней" окружности δ проводятся окружности, касающиеся внутренней и внешней окружностей α_0, α_1. А один шаг — взятие следующего пересечения с δ.

(и опять рисунок из слайдов лекции Протасова)

Так вот — оказывается, что все эти три теоремы (Понселе, Штейнер и кузнечик) следуют из одной, более общей — теоремы Эмха.

(рисунок из слайдов Протасова)

Теорема о кузнечике: кузнечик скачет между внутренней и внешней окружностями, каждый раз прыгая на одно и то же фиксированное расстояние.

Но тут можно обойтись и без инвариантной меры: инверсией сделать внешнюю и внутреннюю окружности концентрическими — а в этом случае утверждение становится очевидным.

(рисунок из слайдов Протасова)

Теорема Штейнера: вписываем окружности так, чтобы они касались внутренней и внешней окружностей, и следующая касалась бы предыдущей.

Из той же лекции Протасова: оказывается, что таких "теорем о замыкании" — "если замкнулось из одной точки, то замкнётся за то же число шагов из любой другой" — есть ещё несколько. И каждую можно доказывать с помощью правильно выбранной инвариантной меры. А именно — кроме теоремы Понселе: - теорема Штейнера (или теорема о телефонном диске) - теорема о кузнечике/блохе/зигзаге

карта из недавно вышедшей «Математической прогулки с осмотром особенностей» Э.Жиса (пер. Е.Ю.Смирнов) «Эта книга видного французского ученого — неформальное введение (в жанре «прогулки») в несколько разделов современной математики. Все темы, затронутые в книге, в большей или меньшей степени связаны с теорией особенностей. Читателю, прошедшему эту прогулку вместе с автором, она поможет выбрать раздел математики, в котором он будет специализироваться, — выбор предлагается широкий.» https://biblio.mccme.ru/node/76199

Полгода назад я тут, по случаю лекции Этьена Жиса в "математических вечерах ЛШСМ", вспоминал его книгу "A singular mathematical promenade" — теорему Концевича о билете в метро, комбинаторную задачу с ответом из Плутарха и доказательство Гаусса основной теоремы алгебры. А сейчас вышел её перевод на русский — и за это огромное спасибо выполнившему его Евгению Смирнову!

А вот тут мы его (и разбиения, и треугольные доминошки, и асимптотику количества) уже обсуждали: https://t.me/mathtabletalks/733

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте. А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

Случайное замощение «ацтекского брильянта» доминошками (доминошки покрашены в 4 цвета — по тому, как в них расположена черная клетка)

Давайте я чуть-чуть про ацтекский бриллиант добавлю: вот тут красивая картинка и пара ссылок —

Ну и вот тут мой собственный рассказ на малом ШАДе об асимптотической комбинаторике — о вопросах вида "сколько есть таких больших комбинаторных объектов" и "как такой типичный объект выглядит", и об ацтекском бриллианте в том числе: https://events.yandex.ru/events/m/mshad14?openTalkVideo=640-28 .