Студенческий семинар по маломерной топологии

Каталог материалов по маломерной топологии ▪️Картинки ▪️Анимации (требуется VPN) ▪️Литература ▪️Курсы лекций и доклады

Векторные поля на поверхностях Материалы ▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов) ▪️Конспект, слайды и упражнения ▪️Листочки: индекс и траектории Программа 1. Наглядное представление о векторных полях 2. Фундаментальные задачи векторного анализа 3. Степень отображения, число оборотов и индекс нуля векторного поля 4. Приложения: теорема Брауэра о неподвижной точке и основная теорема алгебры 5. Векторные поля в электродинамике 6. Векторные поля, связанные с триангуляциями поверхностей и многообразий 7. Да будет дождь: векторные поля, заданные градиентом 8. Теорема Эйлера — Пуанкаре — Хопфа и теорема о причёсывании ежа 9. Расслоения со слоем окружность их числа Эйлера-Черна (векторные поля как сечения касательного расслоения) 10. Векторный анализ: ротор и дивергенция 11. Разложение Гельмгольца — Ходжа — де Рама: гармонические векторные поля Литература ▪️В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович. Наглядная топология, 1983. ▪️А.Б. Скопенков. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения, 2020. ▪️М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко. Векторные поля на плоскости, 1963. Соседи ▪️Гармонические цепи ▪️Эйлерова характеристика и S^1-расслоения ▪️Теорема Брауэра о неподвижной точке ▪️Бифуркация векторных полей на плоскости ▪️Теория Морса ▪️Алгебраические векторные поля на плоскости Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Эйлерова характеристика и S^1-расслоения Знаменитая формула Эйлера утверждает, что для всякого выпуклого многогранника справедливо равенство В-Р+Г=2, где В, Р, и Г — числа вершин, ребер и граней многогранника, соответственно. Тесно связанная с этим равенством, но очень непохожая по форме «теорема о невозможности причёсывания ёжика» утверждает, что непрерывное поле касательных векторов на сфере обязано иметь особые точки. В курсе речь пойдет об обобщениях приведенных утверждений, связанных с топологией и дифференциальной геометрией кривых и поверхностей. В действительности, значительная часть развития топологии XX века как раз и состоит из далёких обобщений формулы Эйлера. В частности, к таким обобщениям относятся гомологии, теория препятствий, характеристические классы и теория Морса. И хотя все эти понятия в курсе явно затронуты не будут, неявно курс можно рассматривать как элементарную иллюстрацию к этому кругу топологических идей. Курсы «Класс Эйлера», «S^1-расслоения» и «Теорема Милнора—Вуда» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.) Материалы ▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов) Литература ▪️L. W. Tu. Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Graduate Texts in Mathematics, 2017. Пререквизиты Все объекты, с которыми мы столкнемся, достаточно просты, их легко изобразить или представить себе, поэтому большая часть курса будет доступна и школьникам (готовым принять на веру интуитивно очевидные утверждения, связанные с непрерывностью) Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели ▪️Кружок любителей арифметики (02.12) ▪️Пучки и их когомологии (03.12) ▪️Алгебраическая геометрия I (05.12) ▪️Основы гомотопической алгебры (05.12) ▪️Нестабильная теория гомотопий (06.12) ▪️Стабильная теория гомотопий (06.12) ▪️Обобщение конструкции Ватанабе на топологические оснащённые дисковые расслоения (02.12) ▪️Склеивание полиэдрально-финслеровых пространств по Решетняку (02.12) ▪️Матрично-векторное представление результатов теории Пикара–Лефшеца (02.12) ▪️Geometric Langlands with marked points (02.12) ▪️Подход старших пределов и функториальные языки в гомологической алгебре (04.12) ▪️Четырёхмерные гиперэллиптические многообразия, определяемые векторными раскрасками многогранников (04.12) На открытке: наделение поверхности гиперболической метрикой

Каталог материалов по маломерной топологии ▪️Картинки ▪️Анимации (требуется VPN) ▪️Литература ▪️Курсы лекций и доклады

Бифуркации векторных полей на плоскости В каждой точке плоскости нарисуем вектор — получилось векторное поле (рис. 1). Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы — скорости течения в разных точках. Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения (рис. 2). Получился фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит с щепками: некоторые приближаются к внешнему (красному) предельному циклу, а некоторые — к зелёному стоку в центре картинки. От внутреннего (синего) цикла все щепки отдаляются. Материалы ▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов) ▪️Упражнения Программа 1. На 1–2 занятиях я расскажу, куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре — Бендиксона). 2. На 3 занятии я опишу, как ещё могут быть устроены фазовые портреты. 3. На 3–4 занятиях мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы. Пререквизиты Предварительных знаний не требуется. Для некоторых задач пригодится умение считать производные. Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели ▪️Кружок любителей арифметики (18.11) ▪️Пучки и их когомологии (19.11) ▪️Алгебраическая геометрия I (21.11) ▪️Основы гомотопической алгебры (21.11) ▪️Нестабильная теория гомотопий (22.11) ▪️Стабильная теория гомотопий (22.11) ▪️Нормализация существенных ламинаций (18.11) ▪️Классификация некомпактных двумерных многообразий (18.11) ▪️Torsion in the Kauffman bracket skein module (21.11) На открытке: карта восьми трёхмерных геометрий Тёрстона

Во вторник (12 ноября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Слоения и ветвящиеся поверхности в дополнениях к зацеплениям» Михаил Чернавских Род узла определяется как наименьшее значение рода среди его поверхностей Зейферта. Тёрстон доказал, что род узла можно найти, предъявив тугое слоение в дополнении к этому узлу. Слоение же можно получить утолщением некоторой ветвящейся поверхности. Я расскажу, что это за объекты и как их можно кодировать комбинаторно с помощью прямоугольных диаграмм.

В субботу (9 ноября) в 13:40 в 105 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Топологическая интерпретация некоторых групп раскрасок зацеплений» Вадим Степанюк Классификация зацеплений является фундаментальной задачей теории узлов. Чтобы различать объекты, мы ищем инварианты. И одним из интересных инвариантов зацеплений являются группы раскрасок. На докладе мы обсудим раскраски при помощи групп целых чисел и торов произвольной размерности. На первый взгляд, группы раскрасок являются чисто комбинаторным инвариантом. Однако оказывается, что они допускают и топологическую интерпретацию. А именно — имеется непосредственная связь с гомологиями циклических разветвленных накрытий над узлом. В завершение обсудим обобщение этого подхода для произвольных топологических групп, а также более общие подходы к раскраскам. От слушателей предполагается знакомство с базовыми вещами из алгебры и теории узлов. Остальные определения при необходимости будут напомнены.

Комбинаторные потоки Риччи и метрики на триангулированных поверхностях Рассмотрим замкнутую поверхность М и зафиксируем ее триангуляцию. Будем считать что ребра — прямолинейные отрезки, а грани — плоские треугольники. Можно ли так подобрать длины ребер, чтобы кривизны в вершинах были одинаковыми? Здесь кривизной в вершине называется разность $2\pi$ и суммы плоских углов, сходящихся в этой вершине. Например, правильные тетраэдр и икосаэдр имеют одинаковые кривизны в вершинах. С этим вопросом связано понятие комбинаторного потока Риччи (для поверхностей). Это такой поток, который меняет длину каждого ребра в зависимости от кривизны в его концах. Оказывается, если выбрать этот поток «правильно», то любой набор длин ребер, удовлетворяющий неравенствам треугольника на каждой грани, под действием такого потока превращается в набор длин ребер с постоянными кривизнами в вершинах. Планируется обсудить эти два сюжета и некоторые смежные с ними. Материалы ▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов) Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (2 ноября) в 14:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Теорема Дональдсона» Аршак Айвазьян Один из основных инвариантов четырехмерного компактного ориентированного односвязного многообразия — унимодулярная симметричная форма пересечений H²(X) x H²(X) → H⁴(X) = Z (простые гомотопические рассуждения показывают, что H²(X) = Z^n для некоторого n). В действительности, как гласит теорема Фридмана (1982), топологические типы таких многообразий находятся в естественной биекции с унимодулярными симметричными формами (снабжёнными, в случае когда они нечетны, ещё 1 битом информации: инвариантом Кирби — Зибенмана). В этом контексте теорема Дональдсона (1983) накладывает жесткое ограничение на то, какие топологические многообразия могут быть снабжены гладкой структурой: если форма пересечений гладкого многообразия знакоопределена, то она диагональна! Доказательство Дональдсона сочетает глобальный анализ, геометрию и теорию гомотопий, вдохновляясь идеями из современной ему математической физики — калибровочной теории. Фактически объект, вокруг которого вращается всё доказательство, — пространство модулей инстантонов. Это пространство связностей в главном расслоении, удовлетворяющих уравнениям Янга — Миллса. В докладе мы обсудим геометрически наиболее интересные части доказательства и дадим его общий обзор (полный разбор доказательства потребовал бы курса лекций). Основные пререквизиты: стандартные курсы гладкой геометрии и теории гомологий. Понятия главных расслоений и связностей будут напомнены.

📣 Мероприятия этой недели ▪️Кружок любителей арифметики (28.10) ▪️Пучки и их когомологии (29.10) ▪️Алгебраическая геометрия I (31.10) ▪️Основы гомотопической алгебры (31.10) ▪️Нестабильная теория гомотопий (01.11) ▪️Стабильная теория гомотопий (01.11) ▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (26.10) ▪️Гомотопический тип группы диффеоморфизмов четырёхмерной сферы – 4 (28.10) ▪️Лагранжева заполняемость и многочлен HOMFLY-PT (28.10) ▪️Нижняя оценка триангуляционной сложности 3-многообразий с краем (28.10) ▪️Heegaard Floer homology and the fundamental group (29.10) ▪️Центры групп кос поверхностей и точная последовательность Бирман (30.10) На открытке: расслоение Лефшеца

Завтра, в субботу (26 октября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Соответствие Жиру: от открытых книг к контактным структурам» Илья Алексеев В первой части доклада мы погрузимся в расслоения над окружностью со слоем поверхность. А именно, мы обсудим разложения открытой книги замкнутых трёхмерных многообразий, основные примеры которых возникают в контексте расслоённых узлов и зацеплений. Это позволит продолжить мостик от теории групп классов отображений поверхностей к трёхмерной топологии. Во второй части доклада мы обратимся к понятию распределения плоскостей на трёхмерных многообразиях. В частности, мы подробно разберём устройство трёх моделей стандартной контактной структуры на трёхмерной сфере. Наконец, следуя Тёрстону и Винкельнкемперу, мы свяжем с каждой открытой книгой некоторую контактную структуру.

Завтра, в субботу (18 октября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) Открытое заседание семинара Формат занятия предполагает возможность всем желающим встретиться вне рамок заранее заявленной конкретной тематики и в свободном режиме побеседовать о волнующих вопросах, сюжетах или задачах. В качестве одной из стартовых точек обсуждения могут быть рассмотрены рассказ @ilya_s_alekseev и @Odisub о визуальном восприятии разветвленных накрытий с ветвлениями в узле и смежные сюжеты. Обратите внимание на нестандартное время начала пицце-семинара