مزداهیک

این ۶ و ۳۰ از کجا می‌آیند؟! 🔺✨ ضریب‌های بسطِ (a+b+c) را می‌توان به شکل یک هرم دید: هرم پاسکال؛ جایی که هر طبقه، ضریب‌های یک توان را نشان می‌دهد. هر عددِ تازه، از جمعِ حداکثر سه عددِ مرتبط در طبقهٔ قبل ساخته می‌شود. پشت این الگوی زیبا، یک ایدهٔ ساده است: شمردنِ انتخاب‌ها. 🔸 در توان سوم، ضریبِ abc برابر ۶ است؛ چون انتخابِ یک a، یک b و یک c از سه پرانتز، به ۶ ترتیب ممکن است. 🔸 در توان پنجم، انتخابِ دو a، دو b و یک c، به ۳۰ ترتیب انجام می‌شود؛ پس ضریبِ جملهٔ مربوط به آن، ۳۰ است. جالب‌تر اینکه در توان پنجم، پس از جمع‌کردن جمله‌های هم‌نوع، ۲۱ جمله داریم و مجموعِ ضرایبشان ۲۴۳ است! 🎬 در ویدیو ببینید این عددها چگونه، لایه‌به‌لایه، ساخته می‌شوند. ❓می‌توانید مجموعِ ضرایبِ توان ششم را بدون بسط‌دادن پیدا کنید؟ @mazdaahik #مزداهیک #هرم_پاسکال #ریاضی #جبر #ترکیبیات

🔺 سه زاویهٔ قائمه… در یک مثلث؟! 🤯 از مدرسه یاد گرفته‌ایم که مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است؛ اما این قانون به هندسهٔ اقلیدسی تعلق دارد. با تغییر هندسه، پاسخ هم تغییر می‌کند: 🟠 هندسهٔ بیضوی: بیشتر از ۱۸۰ درجه ⚪️ هندسهٔ اقلیدسی: دقیقاً ۱۸۰ درجه 🔵 هندسهٔ هذلولوی: کمتر از ۱۸۰ درجه مثلاً روی کره می‌توان مثلثی ساخت که هر سه زاویه‌اش ۹۰ درجه باشد؛ یعنی مجموعاً ۲۷۰ درجه! در مثال هذلولویِ این ویدیو نیز سه زاویهٔ ۴۵ درجه داریم؛ با مجموع ۱۳۵ درجه. 📐 نکتهٔ اصلی در معنای «ضلع» است: ضلع‌ها مسیرهای مستقیمِ همان هندسه‌اند که «ژئودزیک» نام دارند؛ این مسیرها ممکن است در تصویر خمیده دیده شوند. زاویه‌ها نیز در خودِ هندسه اندازه‌گیری می‌شوند. این ویدیو سفری است از صفحهٔ آشنا به هندسه‌هایی که قواعد متفاوتی دارند. ✨ @mazdaahik #هندسه #هندسه_نااقلیدسی #ریاضیات #مزداهیک

🎬 ریاضیات به روایت ترنس تائو | قسمت هفتم 🐒 میمون و هملت آیا تایپ تصادفی می‌تواند روزی متن کامل «هملت» را بسازد؟ ترنس تائو با «قضیهٔ میمون نامتناهی» یکی از شگفتی‌های بی‌نهایت را توضیح می‌دهد: در مدلِ تایپ تصادفی و مستقل، با فرصت نامحدود، هر متنِ مشخص و محدودی با احتمال یک سرانجام ظاهر می‌شود. اما این نتیجه، مهلت مشخصی برای رسیدن به آن متن تضمین نمی‌کند. زمان انتظار با طول متن به‌صورت نمایی رشد می‌کند؛ حتی یک صفحه از «هملت» می‌تواند زمان انتظاری بسیار فراتر از عمر جهان داشته باشد. ترجمه و تنظیم: گروه ریاضی مزداهیک تلگرام و اینستاگرام: @mazdaahik #ریاضیات #ترنس_تائو #بی‌نهایت #احتمال #هملت #مزداهیک

👇👇👇👇

🦋 یک میلیونیم تفاوت در آغاز… آینده چقدر عوض می‌شود؟ در این ویدیو، دو اجرای مدل لورنتس را دنبال می‌کنیم: قانون حرکت یکسان است و فقط یکی از عددهای آغازین، یک میلیونیم فرق دارد. ابتدا مسیرها تقریباً روی هم‌اند؛ اما با گذشت زمان، اختلاف آشکار می‌شود. این همان ایدهٔ اثر پروانه‌ای است: در بعضی سامانه‌ها، تفاوتی بسیار کوچک در شروع می‌تواند به تفاوتی بزرگ در نتیجه برسد. قانونِ حرکت مشخص است؛ بااین‌حال، ندانستنِ دقیقِ نقطهٔ شروع، پیش‌بینیِ آیندهٔ دور را دشوار می‌کند. به همین دلیل، هواشناسان چند پیش‌بینی را کنار هم بررسی می‌کنند تا میزان اطمینان را بهتر بسنجند. 👀 تا پایان ببین؛ فاصلهٔ دو مسیر حتی همیشه بیشتر هم نمی‌شود! گاهی تفاوتی کوچک، پیامدی بزرگ دارد. @mazdaahik #اثر_پروانه‌ای #نظریه_آشوب #ریاضی #مزداهیک

👇👇👇👇

👇👇👇

🎬 ریاضیات به روایت ترنس تائو | قسمت چهارم 🌙 یونانیان چگونه فاصلهٔ ماه را اندازه گرفتند؟ هزاران سال پیش، مشاهدهٔ آسمان و استدلال هندسی به انسان کمک کرد فاصلهٔ ماه را برآورد کند. ترنس تائو در این قسمت توضیح می‌دهد که چگونه تشابه مثلث‌ها و اندازه‌گیری زاویه‌ها، راهی برای سنجش فاصله‌های دوردست فراهم می‌کنند؛ از یک کوه تا ماه. هندسه به ما امکان می‌دهد چیزهایی را اندازه بگیریم که به آن‌ها دسترسی نداریم. ترجمه و تنظیم: گروه ریاضی مزداهیک @mazdaahik #ریاضیات #ترنس_تائو #هندسه #ماه #تاریخ_علم

⚽️ زاویهٔ شوت چقدر باشد تا توپ از زیرِ تیر بگذرد؟ 😉 در این تمرین، توپ ۱۸ متر با یک دروازهٔ فرضی به ارتفاع ۲٫۵ متر فاصله دارد. 📐 اگر مسیر توپ را مستقیم فرض کنیم، مرز زاویه حدود ۷٫۹۱ درجه است؛ زاویه‌های مثبتِ کوچک‌تر، توپ را از زیر تیر عبور می‌دهند. 🌍 با واردکردن گرانش، سرعت شوت هم تعیین‌کننده می‌شود! با سرعت آغازین ۱۸ متر بر ثانیه، در مدلِ توپ نقطه‌ای و پرتاب از سطح زمین، بدون اثر هوا و چرخش، مرزهای مجاز تقریباً ۱۶٫۵۱ و ۲۵٫۲۷ درجه هستند؛ زاویه باید بین این دو مرز باشد. این نتیجه برای زاویه‌های تا ۴۵ درجه است. 🎯 نمونهٔ جذاب: شوتِ ۲۰ درجه‌ای در ارتفاعی نزدیک به یک متر از صفحهٔ دروازه می‌گذرد. در کلیپ، قدم‌به‌قدم از یک مثلث ساده به معادلهٔ مسیر توپ می‌رسیم. @mazdaahik #مزداهیک #ریاضی #مثلثات #فیزیک #فوتبال

👇👇👇👇👇

🎬 ریاضیات به روایت ترنس تائو | قسمت سوم یک بشکهٔ شراب چه ربطی به حسابان دارد؟ کپلر از دیدن روشی ساده برای سنجش گنجایش بشکه‌ها شگفت‌زده شد: چطور می‌شد با یک چوب مدرج، مقدار شراب را تخمین زد؟ در این قسمت، ترنس تائو روایت می‌کند که جست‌وجوی پاسخ این پرسش روزمره، چگونه کپلر را به ایده‌هایی رساند که به شکل‌گیری حسابان کمک کردند. ترجمه و تنظیم: گروه ریاضی مزداهیک @mazdaahik #ریاضیات #ترنس_تائو #کپلر #حسابان #تاریخ_ریاضیات

🍕 قبل از اولین گاز، کمی هندسه! یک پیتزا می‌تواند فرمولِ حجمِ استوانه را در ذهنمان ماندگار کند؛ کافی است آن را استوانه‌ای با قاعدهٔ دایره‌ای و ضخامتِ یکنواخت در نظر بگیریم. شعاع را z و ضخامت را a بنامیم: V = π × z × z × a حالا نامِ «pi» و حروفِ «z، z، a» را کنار هم بگذارید: PIZZA! 😄 پشت این یادآورِ خوش‌مزه، یک رابطهٔ روشن قرار دارد: حجم = مساحتِ قاعده × ضخامت و یک نکتهٔ جالب: با ثابت ماندن ضخامت، اگر شعاع ۲ برابر شود، حجم ۴ برابر می‌شود! در ویدیو می‌بینیم چرا. این فرمول برای مدلِ استوانه‌ای دقیق است؛ برای پیتزای واقعی با لبهٔ برجسته و ضخامتِ نامنظم، یک تقریب هندسی است. @mazdaahik #مزداهیک #ریاضی #هندسه #آموزش_ریاضی