Математика просто!

✳️ Условная вероятность В прошлый раз мы говорили, что независимые события не влияют друг на друга. Но в жизни так бывает не всегда. Часто наступление одного события меняет шансы другого. Для таких случаев вводят понятие условной вероятности. Условная вероятность — это вероятность события A при условии, что событие B уже произошло. Обозначается P(A|B). Читается так: «вероятность A при условии B».

P(A|B) = P(A и B) / P(B)

Здесь P(A и B) — вероятность, что произошли оба события одновременно. P(B) — вероятность самого условия. Мы как бы сужаем пространство всех возможных исходов до тех, где B уже случилось. 🃏 Простой пример Представьте колоду из 36 карт. Тянем одну карту наугад. Событие A — вытянули туза. Событие B — вытянули карту чёрной масти. P(A) без всяких условий = 4/36 = 1/9. Теперь спросим иначе: какова вероятность вытянуть туза, если известно, что вытянутая карта чёрной масти?

Чёрных карт в колоде 18 (пики и трефы). Среди них ровно 2 туза (пиковый и трефовый). Поэтому P(туз | чёрная масть) = 2/18 = 1/9

или же

P(туз | черная масть) = P(туз и черная масть) / P(черная масть) = P(туз) * P(черная масть) / P(черная масть) = P(туз) = 1/9

 В этот раз вероятности совпали. Это потому, что события «вытянуть туза» и «вытянуть чёрную масть» независимы. Масть не влияет на шанс быть тузом. 🔥 Пример с зависимыми событиями Теперь изменим условие. Событие A — вытянули туза. Событие B — вытянули карту с картинкой (валет, дама, король, туз).

Всего карт с картинками в колоде 16 (4 валета, 4 дамы, 4 короля, 4 туза). Из них 4 туза. Поэтому P(туз | картинка) = 4/16 = 1/4

или

P(туз и картинка) — вероятность вытянуть карту, которая одновременно и туз, и картинка. Все тузы — это картинки, поэтому P(туз и картинка) = P(туз) = 4/36 = 1/9 P(картинка) = 16/36 = 4/9. Подставляем в формулу: P(туз | картинка) = (1/9) / (4/9) = 1/4. Всё сходится.

А без условия вероятность туза была 4/36 = 1/9. Видно, что знание о том, что карта — картинка, сильно повысило шанс. События оказались зависимыми. Вывод ⭕ Если события независимы, то P(A|B) = P(A). Условие ничего не меняет. ⭕ Если события зависимы, то P(A|B) отличается от P(A). Условие меняет картину. Это важно понимать, чтобы не попадать в ловушки вроде тех, что мы разбирали в посте про медицинский тест. Там вероятность болезни при положительном тесте — это классический пример условной вероятности. #простым_языком

Пора начинать!

❗️Школа не может отказать ученику в продолжении обучения в 10-м классе только из-за результатов отбора в профильный класс, следует из решения Верховного суда РФ. Суд подчеркнул, что процедура индивидуального отбора не должна лишать ребенка конституционного права на образование. Поводом для разбирательства стала жалоба жительницы Свердловской области, сыну которой отказали в зачислении в 10-й класс. Руководство школы объяснило это тем, что обучение в старших классах является профильным, тогда как мать просила принять ребенка в общеобразовательный класс. Директор оформил прекращение образовательных отношений как отчисление в связи с завершением обучения. Три судебные инстанции отказали женщине в удовлетворении иска, однако Верховный суд отменил их решения и признал приказ школы об отчислении недействительным.

Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за 15 минут, а одна Настя  — за 40 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Катя?

Репетитор по математике, алгебре, геометрии https://www.avito.ru/saratov/predlozheniya_uslug/repetitor_po_matematike_algebre_geometrii_1815595321

⏹️ Теория вероятности: Сложение и умножение Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько. Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое. 🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ») Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно. Формула:

P(A или B) = P(A) + P(B)

Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны. Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?

P(1) = 1/6 P(6) = 1/6 События несовместны — кубик не может показать 1 и 6 одновременно. P(1 или 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже. 🔁 Умножение вероятностей (событие «И») Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми. Формула:

P(A и B) = P(A) × P(B)

Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока. Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?

P(орёл в первом броске) = 1/2 P(орёл во втором броске) = 1/2 Броски независимы — монета не помнит предыдущий результат. P(два орла подряд) = 1/2 × 1/2 = 1/4

Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка

P(шестёрка в первом броске) = 1/6 P(шестёрка во втором броске) = 1/6 Броски независимы. P(две шестёрки) = 1/6 × 1/6 = 1/36

#простым_языком

Знаете, где это?