Математика просто!

Репетитор по математике, алгебре, геометрии https://www.avito.ru/saratov/predlozheniya_uslug/repetitor_po_matematike_algebre_geometrii_1815595321

⏹️ Теория вероятности: Сложение и умножение Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько. Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое. 🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ») Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно. Формула:

P(A или B) = P(A) + P(B)

Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны. Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?

P(1) = 1/6 P(6) = 1/6 События несовместны — кубик не может показать 1 и 6 одновременно. P(1 или 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже. 🔁 Умножение вероятностей (событие «И») Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми. Формула:

P(A и B) = P(A) × P(B)

Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока. Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?

P(орёл в первом броске) = 1/2 P(орёл во втором броске) = 1/2 Броски независимы — монета не помнит предыдущий результат. P(два орла подряд) = 1/2 × 1/2 = 1/4

Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка

P(шестёрка в первом броске) = 1/6 P(шестёрка во втором броске) = 1/6 Броски независимы. P(две шестёрки) = 1/6 × 1/6 = 1/36

#простым_языком

Знаете, где это?

💉 Ошибки интуиции в вероятности. Часть 3 Продолжаем разбирать ситуации, где интуиция подводит. Финальный пример: медицинский тест. Он хорошо показывает, как легко обмануться, если не учитывать все условия. 🏥 Задача

Пусть в популяции некоторая болезнь встречается у 0.1% людей. Иначе говоря, болен 1 человек из 1000. Существует тест, который определяет болезнь с точностью 99%: если человек болен, тест даст положительный результат в 99% случаев. Если человек здоров, тест ошибается и тоже показывает положительный результат в 1% случаев (это называется ложноположительным срабатыванием). Вы случайный человек с улицы. Вы проходите тест и получаете положительный результат. Какова вероятность, что вы действительно больны?

Интуиция почти всегда подсказывает: тест точен на 99%, значит и шанс болезни — около 99%. Но на самом деле это не так. Считаем правильно Рассмотрим 100 000 случайных людей. При распространённости 0.1% больных среди них будет примерно 100 человек, а здоровых — 99 900. - Из 100 больных тест верно определит болезнь у 99 человек (99%). - Из 99 900 здоровых тест даст ложноположительный результат у 1%, то есть у 999 человек. Общее количество положительных результатов: 99 + 999 = 1098. Из них действительно больных только 99. Вероятность быть больным при положительном тесте равна 99 / 1098 ≈ 0.09, то есть примерно 9%. Разница между ожидаемыми 99% и реальными 9% колоссальна. Почему так странно работает Всё дело в том, что болезнь очень редкая. Больных людей в тысячу раз меньше, чем здоровых. И хотя тест ошибается всего в 1% случаев у здоровых, этих здоровых так много, что абсолютное число ложных срабатываний (999) оказывается значительно больше, чем число истинных положительных (99). Тест буквально находит сотни ложных больных на каждого настоящего, потому что проверил огромную толпу здоровых. Формально это описывается теоремой Байеса. Она учитывает не только точность теста, но и априорную вероятность — то есть насколько вообще вероятно быть больным до проведения теста (0.1%). Итоговая вероятность получается после пересчёта с учётом новых данных. Если априорная вероятность очень мала, то даже при хорошем тесте итоговая вероятность может оставаться низкой Априорная вероятность Это вероятность события до получения новых данных. В примере с тестом — распространённость болезни (0.1%). Она влияет на итоговый результат: если болезнь редкая, даже точный тест даёт много ложных срабатываний #углублённо

Женщина-математик разгадала алгоритм лотереи и четыре раза сорвала куш, выиграв в общей сложности около 21 млн.долларов. Это Джоан Гинтер, преподаватель математики из Техаса, которая выиграла в 1993 году $5,4 млн., в 2006 $2 млн., в 2008 $3 млн. и в 2010 $10 млн.долларов. Все это были выигрыши в мгновенной лотерее (где нужно стереть с билетика защитный слой). Алгоритм взломать, конечно, было невозможно, но она широко применяла законы матстатистики, оперируя открытой информацией и делая очень высокие ставки. У таких лотерей можно было отслеживать, сколько крупных призов еще оставалось в игре в конкретный момент времени, и в какие точки поступали крупные партии билетов. Зная это, Джоан прикидывала, когда и где открывалось окно «положительного математического ожидания», и закупала огромное число билетов – на десятки и даже сотни тысяч долларов. И четыре раза это сработало. Все ее выигрыши, разумеется, проверяли с лупой, но никаких признаков мошенничества не нашли. Коза в MAX