Математические байки

Справа — то, что называется кубической гранецентрированной (cubic face-centered) решёткой: центры шаров образуют кубическую решётку, в которой добавлено по ещё по одному в центр каждой грани каждого куба (а синие отрезки это кратчайшие расстояния для упаковки).

По центру — в нижнем слое начали с "треугольной" упаковки. Она плотнее, зато апельсины второго слоя пришлось положить выше, и занять получается только половину "дырок".

Слева апельсины сложили квадратной решёткой в нижнем слое. Потом положили второй слой в получившиеся дырки, третий слой в дырки второго, и так далее.

И я сейчас прервусь на (начинающуюся через час) другую лекцию. В качестве спойлера — один слайд из неё:

Я помню, как я удивился, когда об этом узнал: больше тысячи лет назад уже были совершенно "кружковские" задачи: волк, коза и капуста; переправа трёх ревнивых мужей с жёнами; и даже(!) сумма чисел от 1 до 100.

И в заключение исторического экскурса — в лекцию это не вошло, но мне хочется вспомнить Алкуина из Йорка и его задачи для молодёжи — https://ru.wikipedia.org/wiki/Propositiones_ad_Acuendos_Juvenes

Открывающие титры сразу помогают настроиться:

В заключение вавилонской темы — мне тут коллеги напомнили о первом фильме, снятом на вавилонском диалекте аккадского: https://nplus1.ru/news/2018/12/03/poor-man-of-nippur (или https://www.youtube.com/watch?v=pxYoFlnJLoE )

Кстати — обратите внимание, что по первому столбцу (иными словами, по углу) треугольники упорядочены; а ещё, что в этой табличке вполне есть несколько опечаток (частью пустяковых, но частью нет).

Вот расшифрованная версия из всё той же брошюры Цфасмана-Острика:

В первом столбце записан то ли квадрат тангенса — то ли, если к этим числам слева добавить вертикальный клин (то есть единицу), квадрат секанса:

И дробь 9/16 для треугольника 3-4-5 наводит на мысли, что это 3^2/4^2, квадрат тангенса. Так вот, всё так и есть!

Тут написано 33; 45. Ну и давайте угадаем, что это запись "маленького" числа, а не "большого". То есть мы пишем 33/60 + 45/(60*60) = 11/20 + 1/80 = 45/80 = 9/16

Давайте теперь расшифруем запись в первом столбце:

45 и 75 — не взаимно просты (единственная или почти единственная такая строчка во всей таблице!); если вынести 15 за скобки, то видим 45=3*15, 75=5*15, то есть это как раз самый классический пифагоров треугольник 3-4-5!