Математические байки

Циклоиду заметает камушек, застрявший в катящемся колесе. Давайте в каждый момент времени спроецируем камушек на вертикальный (в этот момент времени) диаметр циклоиды. Такая проекция движется по синусоиде: за время t колесо повернётся на угол t (пусть угловая скорость единичная), и поэтому высота камушка будет (1-cos t)R — ну а проедет оно расстояние tR. Площадь под синусоидой найти не штука — получается 2πR^2, потому что половина площади прямоугольника 2R x 2πR, в который она "вписана" и который она разбивает на две равные части. А сколько остаётся на "лепестки"? Оказывается, ровно площадь круга, πR^2. Ведь горизонтальная "нарезка" позволяет из каждого из "лепестков" собрать по половине круга, сдвинув точку синусоиды на одну и ту же вертикаль. Итого, ответ: площадь под аркой циклоиды равна 2πR^2+πR^2=3πR^2, то есть втрое больше, чем площадь самого катящегося колеса.

На Мат.Этюдах недавно вышел ролик "Параллелограмм", в комментариях к которому есть абзац: === В 1669 году в Парижской академии наук Жиль Роберваль продемонстрировал весы, показания которых не зависели от положения груза на чашках. Кстати, это тот самый Роберваль, который вычислил площадь под аркой ⁠⁠циклоиды, сведя эту площадь к площади под синусоидой (так называемые «лепестки Роберваля», см. брошюру Берман Г. Н. «Циклоида»). === Что такое эти лепестки, я не знал — а оказывается, история простая, красивая и наглядная. А именно: как найти площадь под циклоидой?

https://youtu.be/w3CufD2h_y8 напомним большое интервью Николая Николаевича, которое взял Дима Швецов

Открывающий слайд с доклада Светланы Житомирской на ICM:

А похожесть утверждений из курсов Берштейна и Смирнова совершенно не случайная — но это то, на чём я собираюсь остановиться.

Ну и разумеется, сразу вспоминается курс Е. Ю. Смирнова 2019 года про фризы. В какой-то момент я про него писал (тут — я объединю ниже несколько сообщений): == А именно — мы пытаемся расставлять числа в (повёрнутой на 45 градусов) квадратной решётке так, чтобы в любом квадрате разница произведений лево*право и верх*низ равнялась бы 1, начиная с двух горизонталей сначала из 0, потом из 1: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 5 5 4 3 Следующий ряд ещё понятно, как заполнить: произведение соседей минус 1: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 5 5 4 3 14 24 19 11 Но "почему-то" результат и дальше остаётся целым: скажем, в квадрате с верхней вершиной 5 и боковыми 14 и 24 в нижнее число мы должны вписать (14*24-1)/5 — и оно делится нацело! И чем глубже мы спускаемся, тем больше становятся числа, и тем удивительнее делимость... == А ещё с тех пор вышла как статья Е. Ю. Смирнова в номере Кванта, посвящённом памяти Конвея (с ящерицей-живым клеточным автоматом на обложке!), так и дубнинская брошюра — издание записок его курса.

Помимо всего прочего, можно вспомнить OEIS — и посмотреть, скольких начальных членов последовательности Сомоса хватит, чтобы найти соответствующую запись. На всякий случай: энциклопедия целочисленных последовательностей это реально очень полезный инструмент математика, и один из основных шагов в одной из лучших работ с моим участием (наша работа с Вадимом Гориным) получился именно благодаря рефлексу "видишь целочисленную последовательность? посмотри, нет ли её в энциклопедии!".

Смотрю на анонс курса Берштейна в ЛШСМ-2022, и хочу процитировать кусочек: == 1. Последовательностью Сомоса называется последовательность, заданая рекуррентным соотношением z_{m+2}z_{m−2}=z_{m+1}z_{m−1}+z_m^2 и начальными членами z_0=z_1=z_2=z_3=1. Хотя на первый взгляд определение следующих членов последовательности требует деления, оказывается, что все члены этой последовательности — целые числа. Доказательство, которые мы будем обсуждать, основано на том, что все члены этой последовательности являются полиномами Лорана от первых четырех членов. == Красивое утверждение, правда?

Ко всему выше мне хочется добавить ещё пару слов. Результаты Марины Вязовской, что E_8 это плотнейшая упаковка шаров в размерности 8, и её же с соавторами — что решётка Лича это наиплотнейшая упаковка в размерности 24 — самые известные. Это результаты, которые можно легко сформулировать, и понятно, почему это круто. Но на мой вкус, то, что она с соавторами сделала после того, заслуживает не меньшего, а даже большего внимания. Потому что оказалось, что та "магическая функция", которую она построила — это лишь часть некоторого замечательного "интерполяционного базиса", позволяющего посмотреть под другим углом на пару "функция, её преобразование Фурье". И это всё офигенно круто — только это не сразу осознаёшь (каюсь, у меня ушло очень много времени, чтобы до меня это дошло...). Вот две работы — Danylo Radchenko, Maryna Viazovska, Fourier interpolation on the real line, https://arxiv.org/abs/1701.00265 Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska, Universal optimality of the E_8 and Leech lattices and interpolation formulas, https://arxiv.org/abs/1902.05438

введение про плотнейшие упаковки шаров было в «Математических байках» — https://t.me/mathtabletalks/2004 и далее или можно посмотреть лекцию http://www.mathnet.ru/present14534 (В.Клепцын на ЛШСМ-2016) а если хочется больше деталей про конструкцию Вязовской, то можно заглянуть в текст Кона (laudatio к филдсовской премии): https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/laudatio-mv.pdf

IMU Award Ceremony https://www.youtube.com/watch?v=6I0siVD7RBI — прямо сейчас Николай Андреев, "Математические этюды" и "Математическая составляющая"

Андрей Окуньков написал достаточно популярные тексты про математику каждого из филдсовских лауреатов этого года: https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/JM_FM.pdf https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/MV_FM.pdf https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/JH_FM.pdf https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/HDC_FM.pdf

Maryna Viazovska (плотнейшая упаковки шаров в размерности 8…)

James Maynard (распределение простых чисел)

June Huh (аналог теории Ходжа/Лефшеца в комбинаторике и проч.)

Hugo Duminil-Copin (фазовый переход в модели Изинга, прежде всего в размерностях 3 и 4)

Объявляют Филдсовские премии этого года:

https://zykin.mccme.ru/ в четверг (16.06) в НМУ будет традиционная конференция, посвященная памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017) 11:00 Егор Морозов. Об индексе биполярных поверхностей к торам Оцуки 12:15 Максим Королев. О больших значениях дзета-функции Римана на критической прямой 14:30 Валентина Кириченко. Геометрический митоз 15:40 Дмитрий Каледин. Вектора Витта, коммутативные и некоммутативные

https://youtu.be/hZuYICAEN9Y Дорогие друзья, 3blue1brown продолжает летний флешмоб математических видосов - только теперь есть специальное место на гитхабе, где можно законнектиться с аниматорами! То есть от вас чисто сюжет, анимацию сделает кто-то другой, но тем не менее клевенький!

https://mccme.ru/dubna/2022/courses/ начинают появляться названия и анонсы курсов ЛШСМ-2022 а у желающих принять участие в работе школы старшеклассников и младшекурсников есть еще несколько дней (до пятницы 20 мая), чтобы подать заявку