Математические байки

После этого перешли к вавилонской клинописи — к табличке YBC 7289 (https://en.wikipedia.org/wiki/YBC_7289 )

А папирусу, как-никак, почти 4 тысячи лет (датировка — около 1850 д.н.э.).

Задача об объёме усечённой пирамиды с квадратными основаниями, если известны стороны оснований и высота; и в папирусе правильный ответ: (1/3) h(a^2+b^2+ab)

Уф. Мы это сделали! Давайте я сюда скопирую скриноштами часть рассказа — мне кажется, получилось действительно интересно. Начали с исторического экскурса — и первым вспомнили Московский математический папирус (он же папирус Голенищева) — https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%80%D1%83%D1%81

https://youtu.be/myq1cr-cKZE в среду в 18 будет популярная лекция С.К.Смирнова с участием И.В.Ященко и В.А.Клепцына «Зачем нужна математика?» для школьников 7-11 кл., учителей, родителей, всех желающих.

Сегодня, через четыре с половиной часа :)

То есть точка z=0 важна тем, что именно в ней производная P_c обращается в ноль; и если её образы убегают на бесконечность — мы получаем примерно такую же картину, как и просто для z^2+с, где c большое. Ну и вот пара примеров —

Так вот, ответ на вопрос про то, а зачем вообще рассматривают множество Мандельброта, и почему там именно итерации z=0, такой: Теорема. Заполненное множество Жюлиа полинома P_c связно тогда и только тогда, когда критическая точка z=0 этому множеству принадлежит (не убегает на бесконечность). В противном случае оно гомеоморфно канторову множеству.

И это уже совсем привычный вид канторова множества.

А вот тут я взял параметр c большим отрицательным:

Вот тут точка c это примерно 2.7 — а самого множества Жюлиа справа даже не видно, оно "распалось в канторову пыль". Видны только вложенные области — вне первой из них |P(z)| слишком большой, вне следующей (более светлой) |P(P(z))|, и так далее.

А условие |P(P(z))|<=4 выделит в каждом из этих прообразов ещё два прообраза. И вот у нас получаются вложенные объединения топологических дисков, в каждом диске n-го уровня — два диска n+1-го. Так что точки, которые им всем принадлежат — а это и есть множество Жюлиа для такого c — будут канторовым множеством:

Но то же самое можно сказать и про её образ P(z)=z^2+c, поэтому z^2 обязательно содержится в диске с центром в (-5) и радиусом 4. А тогда z содержится в одном из двух прообразов этого диска под действием квадратного корня.

Для начала заметим, что если уж какая-то точка z принадлежит заполненному множеству Жюлиа J_c, то она не может быть слишком большой по модулю — иначе модули образов будут только нарастать. Ведь |P(z)| >= |z|^2 - |c|; скажем, для |c|<=5 уже при |z|>4 будет |P(z)|>11, потом |P(P(z))|>100, и так далее. Так что точка из множества Жюлиа J_5 обязательно должна лежать в диске |z|<=4.