Математические байки

Для начала заметим, что если уж какая-то точка z принадлежит заполненному множеству Жюлиа J_c, то она не может быть слишком большой по модулю — иначе модули образов будут только нарастать. Ведь |P(z)| >= |z|^2 - |c|; скажем, для |c|<=5 уже при |z|>4 будет |P(z)|>11, потом |P(P(z))|>100, и так далее. Так что точка из множества Жюлиа J_5 обязательно должна лежать в диске |z|<=4.

А что будет, если мы возьмём параметр c явно за пределами множества Мандельброта — например, c=5?

Слева на этой картинке (с Элементов) множество Мандельброта, с отмеченной (белой) точкой c=0, а справа — соответствующее множество Жюлиа.

Так вот, давайте на всё это посмотрим и с этим разберёмся. Начнём со случая c=0. Тогда мы итерируем P_0(z)=z^2, и его итерации достаточно просто описать. А именно, n-я итерация это z^{2^n}, поэтому: *) точки z с |z|>1 убегают на бесконечность, *) точки с |z|<1 падают в ноль, *) а |z|=1 — окружность, остающаяся на месте, и на которой аргумент (из-за возведения в квадрат) за одну итерацию P_0 удваивается. В частности, заполненное множество Жюлиа — диск |z|<=1:

Определение заполненного множества Жюлиа похоже на другие определения фракталов: что-то куда-то итерируется. И из-за итераций естественно ожидать какого-то самоподобия. А вот определение множества Мандельброта кажется странным: почему речь идёт об итерациях именно точки z=0? И из него совсем не видно, почему должен получаться фрактал.

А множеством Мандельброта называется множество таких параметров c, что у отображения P_c (z) = z^2+c не убегают на бесконечность итерации начальной точки 0.

Итак, главные герои. Формальные определения такие: пусть задано отображение z->P(z), например, вида z^2+c. Тогда для любой начальной точки z_0 можно рассмотреть последовательность её итераций — применяя P снова и снова: z_n = P(z_{n-1}). Так вот, заполненным множеством Жюлиа полинома P называется множество точек z_0, итерации которых не убегают на бесконечность. (Определение выше общее — но сейчас я его собираюсь применять только к квадратичным отображениям, z->z^2+c.)

Давайте я попробую немного рассказать о комплексной динамике — о том, что и почему мы на этих анимациях видим. Да — я буду пользоваться двумя генераторами фракталов. Во-первых, у Элементов.ру есть совершенно классная серия интерактивных плакатов, https://elementy.ru/posters/ , — и один из них посвящён как раз фракталам; и там можно одновременно смотреть на точку множества Мандельброта и на соответствующее ей множество Жюлиа — https://elementy.ru/posters/fractals/Julia . Увы, эти плакаты на флеше, который не все современные браузеры любят. :( А во-вторых, вот этим генератором — http://usefuljs.net/fractals/ .

Красивое перекладывание: https://twitter.com/74WTungsteno/status/1265613949485096961/photo/1

И в завершение — вот звёздчатая гипоциклоида с двойным параллелограммом (и двумя рисующими точками на одной из окружностей):

(а эта картинка из Википедии — https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0 )

Ещё картинка на эту же тему — циклоидальная передача:

И цитата на эту тему из 7-й главы "Прямых и кривых" (http://zadachi.mccme.ru/prkr/ , которые выше уже упоминали) —

А вот — если мы достроим параллелограмм в другую сторону :