Математические байки

1/sin(π/31) = 1/sin(2π/31) + 1/sin(4π/31) + 1/sin(8π/31) + 1/sin(16π/31), и так далее. А в пределе, когда x=π/(2^n-1) — очень-очень маленький угол, получаем формулу для суммы геометрической прогрессии: после умножения на x остаётся 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... . Собственно, в этом исходно и была ассоциация: рассуждение для маяков восстанавливает формулу для обратных квадратов через точное равенство для окружности с конечным числом маяков, переходя к пределу по числу маяков. Тут же была формула для 3 удвоений и было видно, что предел (геометрическая прогрессия) тоже правильный — резонно было посмотреть, не будет ли справедливо и то, что посередине.

Увидел у коллег задачу выше про треугольник с углами π/7, 2π/7, 4π/7 — то есть (применяя теорему синусов) про тождество 1/sin(π/7) = 1/sin(2π/7) + 1/sin(4π/7). И по (не совсем прямой) ассоциации с доказательством для суммы обратных квадратов через маяки подумал: вот угол π/7 характерен тем, что после трёх удвоений мы получаем его же, увеличенного на π. А если удвоений будет 4? 5? И таки да — 1/sin(π/15) = 1/sin(2π/15) + 1/sin(4π/15) + 1/sin(8π/15)

давайте попробуем восстановить традицию не только задач, но и решений в этом канале? для разминки: два решения задачи выше можно узнать из ролика https://youtu.be/1N-doa1KZeE

https://mccme.ru/nir/seminar/ в четверг (23.12) на семинаре учителей Николай Андреев будет рассказывать про новости Мат. Этюдов 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие

По традиции ведем онлайн-репортаж с лекции, посвященной берестяным грамотам, найденным археологами в этом сезоне. Подключайтесь: https://nplus1.ru/blog/2021/11/22/birchbark21

N+1 ведёт онлайн:

Мини-оффтопик: меньше, через минуту, начинается лекция А. А. Гиппиуса про берестяные грамоты — https://philology.hse.ru/announcements/526684189.html (кажется, тут идёт трансляция — https://www.youtube.com/watch?v=_1jZkmKSbwo ). А если вы ни разу не видели лекции А. А. Зализняка — то вот тут (http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?eventID=46&option_lang=rus#PRELIST46 ) есть их видеозаписи; в том числе — вот (http://www.mathnet.ru/php/conference.phtml?eventID=46&confid=151&option_lang=rus&if_videolibrary=1 ) подраздел с лекциями о берестяных грамотах. И очень, очень, очень советую.

Вау! Поздравляю коллег!!!

А вот к этой задаче теперь есть два пути/две подсказки — можно посмотреть второй слайд в инстаграмме (и он того очень стоит!), а можно сначала пройти через упомянутое выше свойство, а потом уже чуть-чуть оптимизировать решение.

https://www.instagram.com/p/CVGiBh-rGlo/ Разоблачение магии из предыдущего выпуска будет не сразу, сначала в рубрике рисунков М.Панова задача: Дана парабола, её фокус и касательная в вершине. Как построить циркулем и линейкой касательную к этой параболе из произвольной точки T? (Кто хочет подсказку, можно посмотреть второй слайд в инстаграме.)

Ну и на задачу про параболы, касающиеся трёх заданных прямых, можно посмотреть так. Пусть мы уже знаем, где находится фокус; как нам найти директрису? Мы только что обсудили, что зеркальное отражение фокуса относительно касательной на директрису попадает. А тут у нас касательных сразу три — можно отразить относительно всех трёх, и получить три точки, которые на директрисе должны лежать. Только лежат ли они все три на одной прямой? Зеркальный образ точки при вдвое дальше, чем основание перпендикуляра — так что можно спрашивать, лежат ли все три перпендикуляра на одной прямой. И если точка (кандидат в фокусы) лежит на описанной окружности, то да, лежат, и собственно, так и определяется прямая Симсона.

Собственно — катящиеся параболы это вырождение катящихся эллипсов. Если один фокус эллипса оставить на месте, а второй уносить на бесконечность, так, чтобы эллипс проходил через заданную точку — то эллипс выродится в проходящую через эту точку параболу с заданным фокусом. А окружность, по которой двигался отражённый образ первого фокуса, станет "окружностью бесконечного радиуса" (с центром на бесконечности, там, куда убежал второй фокус) — т.е. прямой; и эта прямая будет директрисой предельной параболы.

Тут тоже можно посмотреть на второй эллипс как на зеркальный образ первого. Если добавить на картинку касательную и отрезки от фокусов до точки касания, то получается такая картина — и то, что фокусы подвижного эллипса бегают по окружностям, это просто определение эллипса (сумма расстояний постоянна). (Вот тут — https://www.geogebra.org/m/wwasgsjr — анимация в GeoGebra с движением эллипсов)

https://twitter.com/i/status/1430777572787462152 еще одна картинка специально для тех, кого параболы недостаточно впечатляют

Собственно, доказательство теперь проводится совсем просто. Например, можно сказать, что при таком качении одной параболы по другой можно об этом думать, как о качении касательной-зеркала, а вторая парабола это её образ в этом зеркале. Тогда фокус второй параболы это зеркальный образ фокуса первой — а из картинки для оптического свойства мгновенно следует, что отражение фокуса параболы относительно любой касательной к этой параболе всегда попадает на директрису. (Что само по себе симпатичный факт — и каюсь, буквально в таком виде я его не помнил.)

Я здесь пишу слово "должен" — потому что это следствие из того, какую картинку мы видим (фокус движется по горизонтальной прямой), а ещё не доказанное утверждение. Но как только становится понятно, что отрезок от точки касания до подвижного фокуса вертикален — немедленно вспоминается картинка из определения параболы: отрезок от точки на параболе до фокуса и равный ему "вертикальный" отрезок до директрисы; и оптическое свойство параболы — касательная, которая делит угол между этими отрезками пополам.

Наверняка многие уже видели эту картинку с парой катящихся парабол — ну и мне тут хочется добавить пару слов. Во-первых, глядя на эту картинку, можно заметить, что фокус катящейся параболы должен двигаться, оставаясь строго под точкой касания. Это можно увидеть любым из тех двух способов, которые у нас возникали при обсуждении катящегося квадратного колеса. Можно — сказав, что точка касания это мгновенный центр вращения, а подвижный фокус движется строго горизонтально. А можно мысленно положить в фокус грузик (или, лучше, при таком расположении парабол — воздушный шарик). Тогда потенциальная энергия не зависит от положения подвижной параболы, а тогда равновесие должно быть безразличным — значит, центр тяжести на одной вертикали с точкой касания, иначе возникнет "опрокидывающий момент".

https://twitter.com/i/status/1431489617623126018 картинка по выходным: магия с параболой, которая катится по другой параболе (спасибо за ссылку Н.Андрееву)

https://www.instagram.com/p/CU2apwOqC2E/ Сегодня в рубрике рисунков М.Панова вот такая магия. Можно попробовать сформулировать и доказать утверждения про фокусы и директрисы парабол, касающихся трех данных прямых. А в следующем выпуске рубрики будет разоблачение магии.