Математические байки

И вот решение задачи с ТурЛома, как мне кажется, как раз и является такой геометрической интерпретацией. Более того — из неё следует, что даже если мы не будем предполагать, что Земля это идеальная сфера, а только лишь, что экватор выпуклый (и лежит в одной плоскости — иначе будут проблемы), и что верёвку мы поднимаем везде на одну и ту же высоту h, то всё равно h это (1/2π) метра.

Есть такая классическая задача: вдоль экватора Земли натянута верёвка; её удлинили на 1 метр, подняв равномерно везде. Пройдёт ли теперь под ней мышка? А кошка? А человек? (Землю считаем идеально сферической.) Ну и у неё есть столь же классическое решение: длина окружности радиуса R равна 2πR, поэтому новый радиус это (2πR+1м)/2π = R+ (1/2π)метра, так что верёвку надо будет поднять примерно на 16 см — кошка спокойно пройдёт. (Что может показаться удивительным, потому что казалось бы, огромный экватор удлинили всего-то на 1м, разве можно увидеть какой-то зримый эффект?) А этой весной у меня коллега (Беатрис) спросила — а нет ли у этого какой-нибудь геометрической интерпретации?

http://www.ashap.info/Zadachi/Perepravy-m.html для любителей переправ у А.В.Шаповалова есть много задач (ну и на его сайте есть и много другого интересного)

1. Три человека со стиральной машиной хотят переправиться через реку. Катер вмещает либо двух человек и стиральную машину, либо трёх человек. Беда в том, что стиральная машина тяжёлая, поэтому погрузить её в катер или вытащить из него можно только втроём. Смогут ли они переправиться? Автор задач: Александр Шаповалов

P.S. За дьюар (и за удобную зажигалку и за большой УФ-фонарик, с которым флуоресценция тоника была хорошо видна даже днём) спасибо коллегам-химикам, которые ставили соседнюю станцию; у них было здорово — но, каюсь, их я сфотографировать не успел, дети шли потоком. 🙂

А тут над таким же слоем углекислого газа "висят" мыльные пузыри — наполненные обычным воздухом и потому спокойно над углекислым газом плавающие! (Тут фото уже не с фестиваля — увы, там сфотографировать не успел)

В эту субботу был на Фестивале "Квантика" в Новой школе — ставил станцию с физическими опытами. Кажется, неплохо получилось! На фото и видео: в заполненный углекислым газом (из сухого льда на дне) сосуд Дьюара медленно опускается горящая зажигалка. В тот момент, когда она опускается в сам углекислый газ — пламя от неё отрывается: газ из неё в CO2 не горит, но успевает подняться до огонька и сгореть там. Так что огонёк пляшет на границе между углекислым газом и воздухом — зажигалка отдельно, пламя отдельно! Кстати — отсюда видно, сколь углекислый газ коварен: на глаз его совершенно не видно, кажется, что дьюар заполнен воздухом. (И он в полтора раза тяжелее воздуха — поэтому и в сосуде накапливается и не разлетается.) На всякий случай: при работе с сухим льдом нужно соблюдать технику безопасности! Не хвататься за него голыми руками — можно обжечься, как-никак минус 79 градусов; работать — и хранить — только в хорошо проветриваемом помещении (ибо углекислый газ, которым дышать нельзя, а ещё умеет незаметно накапливаться у пола); его нельзя хранить в герметично закрытой ёмкости — её разорвёт газом; в общем — если захочется повторить, пожалуйста, аккуратно изучите ТБ до того, как что-либо делать!

А вот соответствующая статья в "Квантике" — https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/pythagoras-final.jpg (Квантик, 2019, №8; рис. — А.Вайнер)

Это — частный случай велосипедной теоремы: пусть отрезок-велосипед (у которого вершина-заднее колесо может двигаться только в направлении отрезка-рамы, а вот вершина-рулевое колесо — куда угодно) проезжает по какому-то пути и возвращается в исходное положение, сделав один "оборот". Рассмотрим кривые, по которым проехали переднее и заднее колёса, и ограничиваемые ими площади (с учётом знака и/или кратности, если кривые самопересекающиеся). Тогда разница между этими площадями равна πb^2, где b — длина рамы велосипеда. На фото: доказательство теоремы. Путь заднего колеса приближается многоугольником, и тогда переднее едет то по прямой, то по дугам окружностей радиуса b (когда нужно повернуть), см. "сектора" на этой фотографии. И получается в точности теорема о сумме внешних углов многоугольника!

На фото (с лекции этим утром в школе "Интеллектуал"): Григорий Мерзон засовывает теорему Пифагора в блендер/центрифугу, размазывая прямоугольный треугольник до полной однородности. Площадь πb^2 кольца, заметённого вторым катетом, равна разности площади πc^2 большого круга, заметённого гипотенузой, и площади πa^2 малого круга, заметённого первым катетом.

А ещё — если речь зашла об анализе, давайте я порекламирую серию видео "Essence of calculus" 3Blue1Brown; вот кадр из главы о рядах Тейлора: (Image credit: 3Blue1Brown, Essence of calculus, Chapter 11: Taylor series)

А это уже одна иллюстрация из учебника по ОДУ: (image credit: Илья Щуров, Обыкновенные дифференциальные уравнения)

Это иллюстрация к многочленам Тейлора (картинка интерактивная — степень многочлена можно менять!): (image credit: Илья Щуров, Математический анализ)

Вот это — иллюстрация к теореме о пределе суммы. (image credit: Илья Щуров, Математический анализ)

От себя добавлю, что учебники действительно классные и дружелюбные. Давайте я выложу несколько скриншотов оттуда; вот это — вопросы для самопроверки, с комментариями, которые открываются после клика на выбранный ответ (тут один ответ правильный, второй нет). (image credit: Илья Щуров, Математический анализ)

Завтра первое сентября, а у меня первая лекция по матану для нового первого курса. И перезапуск этого канала! Сотни тысяч студентов самых разных специальностей в ближайшие дни придут в аудитории и столкнутся там с функциями и пределами, эпсилонами и дельтами, теоремами Коши и Вейерштрасса. Чтобы это столкновение было менее травматичным, я бы хотел, чтобы все студенты знали об учебнике, который я написал в прошлом году. Это, насколько я знаю, наиболее подробный и дружелюбный учебник по матану (в его «серьёзной» версии, с пределами), существующий на русском языке. Он бесплатный. Он электронный. Он (в меру) интерактивный. В нём много картинок (и чуть-чуть анимаций). Его можно читать с мобильного телефона (ну окей, я не успел оптимизировать все главы под экраны мобильных, но первая половина готова). Он совместим со скринридерами — и значит доступен для незрячих. Он лежит здесь: https://calculus.mathbook.info/ Впрочем, можно не просто читать учебник. (Вообще, чтением матан не выучишь.) Традиционно я выкладываю в открытый доступ все материалы нашего курса для Совместного бакалавриата ВШЭ-РЭШ — семинарские задачи, домашки, дополнительные задания. В этом году мы будем выкладывать видео всех лекций. (Студенты единогласно признали, что доступность видео — главный плюс удалёнки, и мы сохраним его и в очном формате.) Чтобы вам было проще следить, я буду сообщать о появлении материалов в этом телеграм-канале («Матан без котиков»). Редкий случай, когда я прошу о репосте и вообще о распространении информации. Если среди ваших знакомых есть студенты, родители студентов или любые другие люди, которым может быть полезен этот учебник — скиньте им ссылку. Уверен, что это будет реальной помощью в учёбе. И вообще, мне хочется задать новый стандарт учебных текстов на русском языке, а для этого нужно, чтобы об этом учебнике узнали все-все-все. Помогайте! А я буду его и дальше улучшать. P.S. Если вы уже выучили матан и теперь собираетесь учить диффуры, у меня есть учебник и про них: https://ode.mathbook.info/

Ну собственно — цель видна, осталось посчитать. Мы переходим от I(f) = \int L(x,f,f') dx к I(f) = \int L(x,f+ε*g,f'+ε*g') dx. Подынтегральная функция разбивается в сумму L(x,f+ε*g,f'+ε*g') = L(x,f,f') + (∂L/∂f)(x,f,f')*εg +(∂L/∂f')(x,f,f')*εg' + (квадратичные по ε члены). Интеграл от первого слагаемого нам даёт исходное значение I(f), а два других как раз дают линейный по ε порядок возмущения — и их сумма должна быть нулевой для любой ("хорошей" — например, обращающейся в ноль рядом с границей, чтобы не повлиять на граничные условия) функции g. Поэтому линейный функционал ("дифференциал I(.) в точке f") g -> \int [(∂L/∂f) g + (∂L/∂f') g'] dx должен быть нулевым. Вопрос: что нам это говорит о функции f? Давайте проинтегрируем по частям второе слагаемое (не задумываясь о гладкости) : \int (∂L/∂f') g' dx = - \int (d/dx)[∂L/∂f'] * g dx. Поэтому весь "дифференциал" равен \int [(∂L/∂f) - (d/dx)[∂L/∂f'] ] * g dx. И этот интеграл равен нулю для любой функции g — значит, множитель перед ней есть тождественный ноль (иначе можно просто посадить маленькую положительную "шапочку" в области, где этот множитель не меняет знака). Вот это и есть уравнение Эйлера-Лагранжа: (∂L/∂f) - (d/dx)[∂L/∂f'] = 0. Конечно, для каждой конкретной функции L это некоторый счёт (точно так же, как вычисление производной или частных производных при максимизации функций от конечного числа переменных) — но это всего лишь счёт, который можно взять и сделать!

Чуть-чуть конкретизируя — пусть написан функционал I(f) = \int L(x,f,f') dx, и мы хотим его максимизировать или минимизировать. (Если бы f' под интегралом не было — то это была бы просто максимизация/минимизация L(x,y) по y при каждом фиксированном x, и ничего особо интересного.) Как это сделать? Да точно так же — чуть-чуть поменяем функцию, сдвинувшись от f к f+ε*g, посмотрим, насколько поменялось значение I(f), и потребуем, чтобы в линейном по ε порядке был ноль, в каком бы "направлении" g мы не двигались. Просто не будем задумываться о том, что пространство бесконечномерное!

А теперь представьте себе, что мы максимизируем или минимизируем функционал — функцию от функции, то есть что-то, определённое на бесконечномерном пространстве функций (или кривых, или ещё чего-то аналогичного). Например, к этому классу вопросов относится изопериметрическая задача (максимизировать площадь фигуры с заданным периметром; ответ, конечно, круг), задача Дидоны (на берегу моря отгородить верёвкой, сделанной из шкуры быка, фигуру максимальной площади; ответ — полукруг: достраивая фигуру симметрично в море, мы сводим эту задачу к изопериметрической). Задача о кривой наибыстрейшего спуска, брахистохроне: по какой траектории боб для бобслея быстрее всего спустится из точки A в точку B? (Наверное, все видели соответствующий ролик Мат.Этюдов — https://etudes.ru/etudes/cycloid/ ?) Потому что если траектория боба задаётся графиком y=-f(x), то скорость его над точкой x из закона сохранения энергии будет равна \sqrt{2g*f(x)}, и затраченное время будет интегралом: T = \int \sqrt{1+f'^2(x)}/\sqrt{2g*f(x)} dx. Наконец, наша задача тоже попадает в этот же класс: мы минимизируем площадь фигуры вращения, которая задаётся интегралом \int 2π*\sqrt{1+f'^2(x)}*f(x) dx (длина окружности 2π*f(x), а между x и x+Δx высота кольца это Δx*\sqrt{1+f'^2(x)}). Так как же решать (хотя бы в первом приближении — на уровне байки) все такие задачи?