Математические байки

А доказательство теоремы Пифагора на этих карточках — такое, что каждая из частей, на которые квадраты разрезаются, сдвигается параллельным переносом и не поворачивается. (И вопрос про то, какие фигуры можно превратить одну в другую разрезанием на [многоугольные] части и параллельным переносом — мы тут в какой-то момент обсуждали, с ключевым словом «инвариант Хадвигера»)

Кстати, к спирали Корню из этих карточек. Она соответствует «мнимому гауссову» интегралу от exp(i π t^2/2) — точнее, тому, как по C=R^2 бежит соответствующая первообразная. И мы похожие картинки когда-то уже видели в связи с гауссовыми суммами!

А ещё это замощение коллеги используют для рубашек карточек «Мемори» — https://zadachi.mccme.ru/memory/index.html#124 (можно поиграть прямо на сайте, а я когда-то с огромным удовольствием играл настоящими напечатанными картами). Кстати — карточки на сайте кликабельны (чтобы можно было увеличить текст; и набор объяснений для фактов там очень хороший, и сумма внешних углов многоугольника, и сумма нечётных чисел, и квадрат суммы, и так далее).

в качестве картинок по выходным — непериодическое замощение Фодерберга, решающее задачу выше

Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника. Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.) // задача Сергея Маркелова с не очень давней Московской математической олимпиады

Да — ещё: небольшой (рукомахательный) комментарий про ожерелье Антуана. Несложно понять, почему оно задаёт именно канторово множество: потому что возникает обычная для канторова множества структура разделения на всё меньшие и меньшие дизъюнктные замкнутые множества (его покрывают непересекающиеся торы первого порядка, внутри каждого из есть непересекающиеся торы второго порядка, внутри каждого из которых есть непересекающиеся торы третьего порядка, и так далее…). А почему это — топологически нетривиальное вложение канторова множества в трёхмерное пространство? Потому что, в отличие от стандартного вложения, дополнение к ожерелью Антуана неодносвязно — в нём есть петли, которые нельзя непрерывно стянуть в точку. Возьмём, например, петлю, обходящую вокруг «главного тора» ожерелья (в дополнении к нему). Докажем, что её стянуть в дополнении к ожерелью нельзя. Действительно, она не стягивается в дополнении к главному тору, так что, если её стягивать — в какой-то момент она тор пересечёт. Более того, она не стягивается и в дополнении к объединению торов первого порядка. И в дополнении к объединению торов второго. И так далее. Значит, в процессе деформации она пересечёт объединение всех торов любого порядка n. А тогда (компактность + выделение сходящейся подпоследовательности по времени и по месту пересечения) найдётся и момент, когда она зацепит за пересечение всех таких объединений, то есть за само канторово множество, ожерелье Антуана.

К этому: 1) текст-комментарий в том же Кванте-1978: https://www.kvant.digital/view/kvant_1978_3/43/ 2) у нас в университете есть отдельный шкаф с разными математическими объектами (там много всякого разного — и кстати, тетраэдр Серпинского для этого видео я брал ровно оттуда). Так вот — ожерелье Антуана (ну, точнее, третий этап его построения) там тоже есть. Более того, их у нас целых два!

Увидел тут задачу — получить из четырёх шестёрок число 27. Разрешённые операции — четыре арифметические, возведение в степень и извлечение квадратного корня (и можно пользоваться скобками). Долго думал, решил. Если что: - Задача абсолютно честная. Никаких «перевернуть шестёрку, чтобы сделать из неё девятку» или ещё чего-то подобного. - Чем-то напоминает другую: получить из 1, 3, 4 и 6 число 24, если разрешены только четыре арифметические операции и скобки. Тоже абсолютно честную, и тоже (и даже чуть более) сложную. Если вдруг её не видели/не решали — тоже очень советую!

На скриншоте — момент вычисления многочлена Шура для диаграммы-уголка из трёх клеток при n=3. На правой доске восемь соответствующих способов заполнить таблицу — и сумма соответствующих мономов. Понятно, что те, кто этим занимаются, это знают, но я не знал. Забавно! И лекция дальше тоже интересная, это только самое начало.

Смотрел недавно запись лекции Е.Ю. — https://www.youtube.com/watch?v=WcVtjQ6Dk08 Очень интересно — я всегда знал, что [симметрические] многочлены Шура можно задать, как отношение двух определителей. В знаменателе — Вандермонд, а в числителе — Вандермондо-подобный определитель, где степени в j-й строке увеличены на λ_j. Как раз и числитель, и знаменатель антисимметричны, так что отношение симметрично. А тут оказывается, что те же самые многочлены можно задать вообще без определителей, на языке, доступном школьнику. Заполняем диаграмму Юнга λ числами от 1 до n так, чтобы числа строго возрастали в каждом столбце и нестрого — в каждой строке. Получается полустандартная таблица Юнга (SSYT). Каждой такой SSYT сопоставляем моном — перемножая переменные с номерами, которые записаны в клетках. Всё складываем. Утверждается, что как раз получается полином Шура! Хотя вообще-то, даже то, что получится симметрический многочлен, совершенно неочевидно.

Вышла книга Е.Ю.Смирнова и А.А.Тутубалиной "Симметрические функции: начальный курс" https://biblio.mccme.ru/node/310408 Книга написана по материалам семестрового курса «Симметрические функции», читавшегося авторами в Независимом московском университете и на факультете математики Высшей школы экономики. В ней излагаются как классические, так и недавние результаты о симметрических функциях и их обобщениях, причем основное внимание уделяется комбинаторным аспектам теории. Курс снабжен большим количеством задач и упражнений, ко многим из которых приводятся решения. Книга адресована студентам и аспирантам математических и физических факультетов, а также широкому кругу читателей, интересующихся математикой.

в пространство несложно вложить окружность разными неэквивалентными способами — а можно ли «завязать в нетривиальный узел» множество Кантора, компоненты связности которого состоят из отдельных точек? кажется очевидным, что нет — и всё же… картинка по выходным — ожерелье Антуана с обложки Кванта №3 за 1978 год

О, недавний minutephysics тоже о радуге — и о том, что бывает, если капельки будут сильно меньше, чем обычно: https://www.youtube.com/watch?v=OEQeSrXy-YA Оказывается, радуга от таких мелких капелек может стать белой (а ещё при промежуточном размере получается повторение радуги — и это не та вторая радуга, которую мы видим обычно)!

📚 Переиздана книга Е.Ю.Смирнова "Группы отражений и правильные многогранники". Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором на Летней школе «Современная математика» в Дубне 20–26 июля 2008 года. В брошюре: ☁️ классификация правильных многогранников в евклидовом пространстве произвольной размерности. ☁️ знакомство с группами отражений и системами корней. Материал лекций иллюстрирует связь геометрии, теории групп и комбинаторики.

в качестве картинки по выходным… нет, не тест Роршаха, а одна из спиралей гауссовых простых (начинаем с 232+277i, встречая гауссово простое поворачиваем на 90 градусов, ждем пока не получится цикл… в данном случае длины 316268) источник, обсуждение: mathoverflow.net/questions/91423/gaussian-prime-spirals

Мальчишка, появившийся в 2005... Друзья-коллеги помнят https://etudes.ru/news/2005/ и поздравляют. Спасибо! https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3563

И ещё: 1) Скриншот соответствующего кусочка из «Математической составляющей», https://book.etudes.ru/articles/rainbow/ 2) В январском номере Квантика, https://kvantik.com/issue/pdf/2025-01.pdf , на с. 19 есть фотография, где появляется третья радуга, причём она пересекает вторую (и вопрос, как же такое могло произойти). И да, это очень круто, автору (статьи и фотографии) — Никите Панюнину — большой респект. (А ответ есть в том же номере, на с. 29.)

Ну и — вот несколько фотографий двойных радуг, на которых чётко видна разница в яркости неба.

Давайте я добавлю ещё чуть-чуть про радугу. Вот у нас есть функция «угол, на который луч повернётся от направления, обратного направлению на Солнце», и радуга идёт на угловом расстоянии от этого направления, которое является максимумом этой функции. Но! Если у функции какое-то значение это максимум, то все остальные значения меньше его. То есть — кроме собственно радуги, внутри неё мы видим ещё и рассеянный каплями под меньшим углом свет. А вот снаружи радуги такого света мы не получаем. Так что небо снаружи радуги — темнее, чем внутри. Ещё — если свет внутри капли идёт по пути не с одним внутренним отражением («вход/преломление—внутреннее отражение—выход/преломление»), а с двумя, то получается другая функция с другим критическим значением (уже минимумом, а не максимумом, опять же, если отсчитывать от направления, противоположного Солнцу. И так получается вторая (более слабая из-за потерь) радуга. Опять же, при таком отражении свет может уйти ещё сильнее за вторую радугу (потому что у функции — минимум), но не внутрь. Поэтому самая тёмная полоса, полоса Александера, будет между этими двумя радугами.

Ну и — вот несколько фотографий двойных радуг, на которых чётко видна разница в яркости неба.