Математические байки

И ещё: 1) Скриншот соответствующего кусочка из «Математической составляющей», https://book.etudes.ru/articles/rainbow/ 2) В январском номере Квантика, https://kvantik.com/issue/pdf/2025-01.pdf , на с. 19 есть фотография, где появляется третья радуга, причём она пересекает вторую (и вопрос, как же такое могло произойти). И да, это очень круто, автору (статьи и фотографии) — Никите Панюнину — большой респект. (А ответ есть в том же номере, на с. 29.)

Ну и — вот несколько фотографий двойных радуг, на которых чётко видна разница в яркости неба.

Давайте я добавлю ещё чуть-чуть про радугу. Вот у нас есть функция «угол, на который луч повернётся от направления, обратного направлению на Солнце», и радуга идёт на угловом расстоянии от этого направления, которое является максимумом этой функции. Но! Если у функции какое-то значение это максимум, то все остальные значения меньше его. То есть — кроме собственно радуги, внутри неё мы видим ещё и рассеянный каплями под меньшим углом свет. А вот снаружи радуги такого света мы не получаем. Так что небо снаружи радуги — темнее, чем внутри. Ещё — если свет внутри капли идёт по пути не с одним внутренним отражением («вход/преломление—внутреннее отражение—выход/преломление»), а с двумя, то получается другая функция с другим критическим значением (уже минимумом, а не максимумом, опять же, если отсчитывать от направления, противоположного Солнцу. И так получается вторая (более слабая из-за потерь) радуга. Опять же, при таком отражении свет может уйти ещё сильнее за вторую радугу (потому что у функции — минимум), но не внутрь. Поэтому самая тёмная полоса, полоса Александера, будет между этими двумя радугами.

Ну и — вот несколько фотографий двойных радуг, на которых чётко видна разница в яркости неба.

Ещё про радугу — пара скриншотов из соответствующего рассказа в «Математической составляющей», https://book.etudes.ru/articles/rainbow/#xtra2

Так вот — радуга это 42 градуса от направления, обратного направлению на Солнце. А на первом фото радужный отблеск в небе довольно близко к направлению на Солнце (оно справа на том же фото), так что радугой это быть не может. Так что это гало — получающееся из преломления света в кристалликах льда.

Несколько скриншотов со страницы ролика МатЭтюдов про радугу — максимум для красного цвета, близкий, но другой, для оранжевого, комментарий про максимум, собирающиеся в радугу лучи от разных капелек, и итоговая дуга радуги (Image credit: https://etudes.ru/etudes/rainbow/ )

Давайте я чуть-чуть добавлю — почему это именно гало, а не радуга. Радуга получается из-за преломления и отражения света в капельках-шариках воды. При этом вообще-то, в зависимости от того, как именно луч входит в шарик, угол, на который преломление и отражение его повернёт, может быть совершенно разным. (Проще всего отсчитывать угол от направления, обратного направлению входа — так отразится луч, прошедший через центр капли.) Так вот — угол поворота в зависимости от не-центральности входа луча в каплю может быть совершенно разным. Но. У функции «угол поворота в зависимости от места входа в каплю» есть точка максимума. И это значит, что в этом направлении уйдёт гораздо больше лучей, чем во всех остальных! Гораздо больше — потому что в этом направлении плюс-минус δ идут лучи из «окна входа» размера порядка корень из δ. А для любого другого направления размер окна тоже порядка δ. И корень из δ много больше δ. Ну и — из-за того, что значение коэффициента преломления зависит от цвета (хорошо, от длины волны 🙂 ), от него зависит и значение этого максимума: красный цвет поворачивает на 42 градуса от обратного направления, а другие чуть-чуть меньше. Вот мы и видим (главную) радугу — образующую дугу с углом ~42 градуса вокруг направления, противоположного направлению на Солнце. У Математических Этюдов есть прекрасный ролик об этом — https://etudes.ru/etudes/rainbow/ .

Вчера из окна поезда видел гало; послал фото Коле Андрееву, немедленно получил в ответ ссылку — https://www.kvant.digital/issues/?query=%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D0%BE Так я узнал, что на новом сайте Кванта есть полнотекстовый поиск по всем старым номерам. :) А также, что при клике на соответствующие номера в поиске искомые слова в тексте подсвечиваются — что постфактум логично и удобно, но об этом тоже надо было подумать; респект тем, кто это всё делал!

В этом году проводится заочный конкурс Турнира городов. Что это такое можно узнать на сайте. На том же сайте уже выложены два набора конкурсных задач в стиле проекта ЛКТГ (Если решить много задач, то можно пройти на саму ЛКТГ). Оба проекта по геометрии. Один продолжает проект с последней ЛКТГ Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma, второй же посвящён Теореме Дезарга об Инволюции, если вы давно хотели узнать что это такое и порешать на это какие-то задачки, то кажется это хороший способ это сделать) Задачи конкурса. 1. Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma 2. Теореме Дезарга об Инволюции

Взаимное расположение корней многочлена и его производной давно интересует математиков, и в целом там всё непросто. В своё время я пытался доказать гипотезу де Брёйна — Шпрингера, что у любой выпуклой функции среднее по корням многочлена не меньше, чем по корням производной, и ничего у меня не вышло — а вскоре после этого вышло у Сени Маламуда, и так умно и коротко, что я до сих пор офигеваю. Потом оказалось, что то же параллельно сделал Раджеш Перейра — вот почему так постоянно происходит, что 55 лет никто не мог доказать, а потом одновременно доказали сразу двое?

Митя Филимонов пишет:

На ВДНХ есть очень неплохая лента Мёбиуса огромных размеров https://vdnh.ru/places/landshaftnyy-attraktsion-lenta-mebiusa/ Мы по ней ходили, очень мило - она в сечении буква H, то есть такой рельс, и к этому рельсу прикручена пешеходная дорожка. Начинаешь идти с одной стороны от ленты, проходишь полный круг и оказываешься с другой. Из-за размеров, не успеваешь заметить, как она плавно проворачивается. В общем, хорошо сделано.

Единственный в своем роде математический парк в Майкопе. Кое-что на улице, а ещё больше очень клёвых демонстраций внутри. Можно даже руками хватать.

Заглянул на новый сайт Кванта Редакция проделала громадную работу: старые номера отсканированы заново, поиск теперь работает по всему архиву, а некоторые тексты можно читать прямо на странице — выглядит красиво и удобно. Всё это очень радует: читать «Квант» стало ещё приятнее. А в свежем номере нашёл замечательную статью Болотина — «Математика игры Сет». Короткий и увлекательный текст о том, как в знакомой карточной игре неожиданно прячется интересная комбинаторика и геометрия. Автор начинает с основ — описывает карты как вектора, а «сеты» как решения простого уравнения. Это позволяет по-новому взглянуть на механику Сета и ответить на ряд любопытных вопросов. Главная задача такая: если в игре не 4, а n признаков, то среди какого наибольшего набора карт нет ни одного сета? Отличный повод заглянуть на сайт «Кванта» и оценить, как он теперь прекрасно выглядит.

Новый сайт журнала «Квант» — https://www.kvant.digital/ ! 7 октября 2025 года, Москва. Лаборатория популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН запустила новый современный сайт журнала «Квант» со сканами высокого качества и возможностями поиска: https://www.kvant.digital/ . Журнала, в котором собраны бесценные материалы, журнала, тиражи которого в 1970-х годах доходили до 385 000 экземпляров в месяц (история журнала, неразрывно связанная с историей нашей страны, представлена в разделе «История»). Старые номера журнала отсканированы заново, по возможности исправлены типографские огрехи. Сайт позволяет искать по автоматически распознанным изображениям представленных номеров журнала. Попробуйте на странице «Архив номеров» ввести интересующее вас словосочетание. В качестве примера: кубик Рубика. По клику на номер с жёлтым фоном открывается страница номера с подсвеченными найденными словами. А если вы школьником отправляли решения в «Задачник „Кванта“», то можете попробовать найти свою фамилию в списках читателей, приславших решения. Возможности нового сайта кратко описаны на странице «О сайте». Цель проекта: представить уникальные материалы журнала в удобном для пользователя виде – в том числе, в виде выверенных html/TeX-текстов. В качестве примера – первые номера журнала и новый номер, некоторые другие материалы. Полистать журнал — занятие увлекательное, затягивающее и полезное: находишь для себя много нового интересного. Предлагаем пользователям совместить изучение материалов с участием в создании html-версии опубликованных материалов: представить в формате TeX понравившиеся тексты. В частности, это может быть школьный проект или студенческая практика. Так постепенно все статьи будут переведены в формат, которым действительно удобно пользоваться, в том числе, с мобильных устройств. Неизменная с 1970 года надпись на обложке журнала «Квант»: научно-популярный физико-математический журнал. Интересных открытий!

https://arxiv.org/abs/2509.18456 Dror Bar-Natan and Roland Van der Veen. A fast, strong, topologically meaningful, and fun knot invariant «In this paper we discuss a pair of polynomial knot invariants \Theta = (\Delta,\theta) which is: * Theoretically and practically fast: Θ can be computed in polynomial time. We can compute it in full on random knots with over 300 crossings, and its evaluation at simple rational numbers on random knots with over 600 crossings. * Strong: Its separation power is much greater than the hyperbolic volume, the HOMFLY-PT polynomial and Khovanov homology (taken together) on knots with up to 15 crossings (while being computable on much larger knots). * Topologically meaningful: It likely gives a genus bound, and there are reasons to hope that it would do more. * Fun: Scroll to Figures 1.1–1.4 and 3.1. ∆ is merely the Alexander polynomial. θ is almost certainly equal to an invariant that was studied extensively by Ohtsuki, continuing Rozansky, Kricker, and Garoufalidis. Yet our formulas, proofs, and programs are much simpler and enable its computation even on very large knots.»

как проверить формулу на картинке? самая понятная формула, выражающая объем тетраэдра через его ребра, дается определителем Кэли–Менгера:

CM = matrix([
    [0,    1,    1,    1,    1],
    [1,    0, U**2, V**2, w**2],
    [1, U**2,    0, W**2, v**2],
    [1, V**2, W**2,    0, u**2],
    [1, w**2, v**2, u**2,   0 ]
])
V2_CM = det(CM)/288

для полиномиальности здесь сразу вычисляется не объем, а его квадрат… но формуле от Маркелова и этого недостаточно, так как в определение «переменных третьего поколения» (a, b, c, d) через «переменные второго поколения» входят квадратные корни но если раскрыть скобки в числителе, то останутся только квадраты этих товарищей, а также произведение abcd (которое тоже полином от «переменных второго поколения»)

X, x = (w-U+v)*(U+v+w), (U-v+w)*(v-w+U)
Y, y = (u-V+w)*(V+w+u), (V-w+u)*(w-u+V)
Z, z = (v-W+u)*(W+u+v), (W-u+v)*(u-v+W)

a2   = x*Y*Z
b2   = y*Z*X
c2   = z*X*Y
d2   = x*y*z
abcd = X*Y*Z*x*y*z 

num2 = (
    2*(a2*b2+a2*c2+a2*d2+b2*c2+b2*d2+c2*d2)
    - (a2**2+b2**2+c2**2+d2**2)
    + 8*abcd
    )
V2_markelov = num2/(192*u*v*w)**2

после этих ухищрений V2_CM - V2_markelov.expand() действительно дает ноль но вопрос, что всё это значит — можно ли выражениям типа b+c+d-a придать какой-то геометрический смысл, скажем, как это происходит в формуле Герона — остается мб кто-то в комментариях научит

travisdoesmath.github.io/s6/ картинки по выходным — про внешний автоморфизм S_6 (но по ссылке не только картинки, но и подробные объяснения, о чем вообще речь) // via Н.Медведь ( ранее на ту же тему: https://t.me/cme_channel/3293 )

сегодня Якову Григорьевичу Синаю исполняется 90 лет пусть здесь будет такой рассказ про его математику https://www.mathnet.ru/rus/mp837 (Ю.С.Ильяшенко в МатПросвещении-2015)

Ещё вдогонку: тот же самый мост, но теперь камера сдвигается в сторону — и видно, как (нетривиально) при этом сдвигается муаровый узор.