Математические байки

📢 Лекция Владимира ФОКА в это воскресенье, 10 марта 12:00 МСК 🎤 Возобновляется наш онлайн семинар для старшеклассников и студентов. 📘 Всю осень на matklassonline выходил курс по комбинаторике (а мы с Максом Карсаковым вели по нему кружок). Вместо последнего занятия была обещана лекция – и вот наконец она состоится! Владимир Фок — математик, профессор университета Страсбурга, специалист по матфизике. 🔍 Теорема Эйлера и бозоны-фермионы

Пентагональная формула Эйлера даёт разложение бесконечного произведения ∏(1 - q^n) в сумму ∑ (-1^k)q^(3k^2 - k)/2 = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^12 - ... Доказательство этой формулы, вернее её обобщения — тройного произведения Якоби, предложенное Борхердсом, использует соответствие между диаграммами Юнга и диаграммами майя — бесконечными последовательностями крестиков и ноликов, а также понятие моря Дирака из физики. Идеи этого доказательства можно также использовать для решения многих других комбинаторных задач. Доклад рассчитан на матшкольников начиная с 9 класса. Достаточно владения перечислительной комбинаторикой в объёме нашего курса.

⏰ Начало в 12:00 МСК. Обратите внимание на необычное время 📌 Ссылка на Zoom. #открытые_лекции #анонс

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/ знаете, что такое мурмурации? а для эллиптических кривых? «when a transatlantic collaboration used statistical techniques and artificial intelligence to discover completely unexpected patterns in elliptic curves, it was a welcome, if unexpected, contribution. (…) Since then, in a series of recent papers, mathematicians have begun to unlock the reasons behind the patterns, dubbed “murmurations” for their resemblance to the fluid shapes of flocking starlings»

Фотографии Антона Фонарёва

Для меня этот его курс стал первым знакомством с асимптотической комбинаторикой. И с идеей, что очень часто число объектов большого размера N примерно данной формы оказывается ведущим себя, как экспонента от фиксированной степени N, умноженной на («энтропийный») функционал от формы — после чего предельная форма оказывается максимизирующей этот функционал.

https://www.mathnet.ru/present231 А.М.Вершик. «A что будет, если n очень большое?» (ЛШСМ-2008)

https://www.kommersant.ru/doc/3200633 к юбилею Анатолия Моисеевича Вершика — напомним относительно недавнюю “математическую прогулку” с ним

Анатолий Моисеевич Вершик (28.12.1933–14.02.2024)

Давайте я чуть-чуть добавлю к тому, что пишут коллеги. Все знают, что планеты движутся вокруг звезды по эллипсам. И навскидку не очень ясно, как это утверждение доказывать, не закапываясь в какие-нибудь жуткие выкладки. Лет пять назад появилось выложил замечательное видео (на канале minutephysics с 3blue1brown) про лекцию Фейнмана об этом, « Feynman’s Lost Lecture ». Я его очень рекомендую посмотреть — но если коротко, есть совершенно замечательный промежуточный шаг, который, услышав однажды, забыть нельзя. Отложим скорости планеты в разные моменты времени от начала координат. Оказывается, что концы этих векторов образуют окружность — просто с центром не в начале координат! («Годограф скоростей — круглый») Чтобы вывести это утверждение, нужны и закон всемирного тяготения, и закон сохранения момента импульса (а точнее, следующий из него второй закон Кеплера — правило площадей). А вывод из него эллиптичности орбиты связан как раз с картинкой с эллипсом-огибающей! (Я немного об этом когда-то писал — см. тут и ниже — но очень советую посмотреть и видео, и страницы/миниатюры Мат. Этюдов про огибающие.)

Любую гладкую кривую можно увидеть, нарисовав не саму кривую, а множество касательных к ней. Понятие огибающей подробно описано в сюжете «Парабола: изонить», в котором в качестве огибающей семейства прямых возникает парабола. Но построение касательных не такое простое дело. Продемонстрируем, как увидеть конические сечения — эллипс, гиперболу, параболу — ничего не считая и не рисуя, а просто складывая листок бумаги. Сюжет сегодняшнего Математического вторника: «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги» https://etudes.ru/models/conic-sections-paper-folding/ . Для эллипса и гиперболы понадобится вырезать кружок из бумаги, для параболы – просто прямоугольный лист. Похожие картинки можно уже было видеть в миниатюрах Эллипс как огибающая, Гипербола как огибающая, Парабола как огибающая. Но в них надо уметь строить перпендикуляр к отрезку, а в указанном сегодня способе складывания листочка эта операция «зашита» в сам способ складывания.

появление эллипса на круглом листе бумаги ( via vk.com/thebeautyoftruth )

Ответ: Луна в первой четверти означает, что направление на неё почти под прямым углом к направлению на Солнце. А Венера — внутренняя планета, так что на 90 градусов выйти не может. Если говорить более аккуратно, то радиус орбиты у неё — чуть больше 0.7 радиуса орбиты Земли (точнее, большая полуось 0.723 а.е., но я наизусть только 0.7 помню — одну цифру помнить проще 🙂 ; ну и на уровне прикидки в уме эллиптичностью пренебрегаем, всё-таки там эксцентриситеты порядка процента) Значит, Венера не может быть от Солнца на угловом расстоянии, большем, чем (примерно) arcsin 0.7. Ну а sqrt{2}/2=0.707..., так что этот угол это с отличной точностью 45 градусов. Итак, максимальный угол между направлениями на Венеру и Солнце это чуть больше, чем 45 градусов. Так что рядом с Луной, которая в этот момент была примерно под 90 градусов — Венера находиться ну никак не могла!

Четыре дня назад на небе можно было увидеть аккуратную половинку Луны (почти точно в фазе первой четверти) — и очень яркую «звёздочку» рядом. Первое, что приходит в голову при виде чего-то столь яркого, это Венера и Юпитер. (Вообще, Марс иногда бывает очень ярким, но не так часто; есть ещё Сириус, но давайте мы его временно заметём под ковёр). Так вот: допустим, мы ограничили выбор Венерой и Юпитером. Интересно, что написанного выше достаточно, чтобы один из этих вариантов исключить! Как думаете, какой? (image credit: NASA, What’s Up video)

St. Petersburg mathematicians and their discoveries Книжка про математиков Петербурга и их открытия — завершена. Теперь напечатаем малым тиражом и разошлём авторам и всем причастным. Кому интересно иметь её в бумажном виде — печатайте сами себе в каком-нибудь самиздате (вроде есть сайты, куда можно pdf загрузить, и потом в мягком переплёте получить по почте).

https://mccme.ru/nir/seminar/ в четверг (11.01) продолжится семинар учителей математики: А.Д.Блинков будет рассказывать про книжку «Площади без формул», которая скоро выйдет в серии «Школьные математические кружки» как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие

Женя Кац напомнила про видео — мыльные пузыри в сильный мороз можно заморозить(!). Я вот вживую такого никогда не видел…

Женя Кац напомнила про видео — мыльные пузыри в сильный мороз можно заморозить(!). Я вот вживую такого никогда не видел…