Непрерывное математическое образование

У нас тут с Таней Казанцевой вышла статья в матпросвещении. Прорекламирую, с вашего позволения. Статья из двух частей: в первой мы доказываем теорему Халина (на самом деле это лучше структурированный перевод элементарного доказательства Дестеля), а во второй применяем эту самую теорему к вершинно-транзитивным графам. О чём теорема Халина. Пусть у нас есть бесконечный граф, в котором есть хотя бы один толстый (нейминг не мой :-) ) конец. Это значит, что в графе есть бесконечно много попарно непересекающихся эквивалентных лучей (два луча эквивалентны, если найдется третий, который пересекает каждый из них бесконечное число раз). Так вот, если у нас сложилась именно такая ситуация, то в графе оказывается найдётся гексагональная решётка. Это можно понимать как бесконечное число параллельных прямых (не лучей!) где соседние прямые соединены «перемычками». Картинку в статье посмотрите. Во второй части мы смотрим на такую штуку как рост графа. Это, грубо говоря, функция числа точек на расстоянии не более чем N от данной вершины. У прямой рост линеен, у плоскости квадратичен и так далее. Довольно просто проверить, что если в графе есть толстый конец, то он не может иметь линейный рост (сразу из теоремы Халина). Точнее так: если граф линейного роста, то все его концы тонкие. А вот обратное — вообще говоря неправда. Например бывает граф с одни тонким концом, но при этом экспоненциального роста (ну и ещё там несколько примеров с приятными картинками). А вот для вершнно-транзитивных графов при условии конечности числа концов обратное утверждение имеет место. Конечность числа концов значит, что для некоторого C количество бесконечных компонент связности после выкидывания любого конечного подграфа — не более чем C. Доказательство не очень трудное, картинки симпатичные, в общем почитайте. В принципе, вся статья писалась так, чтобы быть доступной для матшкольника. Единственное, само доказательство теоремы Халина довольно длинное. Почему я обращаю на это всё внимание и почему вообще мы взялись за такую статью. В школе обычно сосредотачиваются на конечных графах, а бесконечные или просто «очень большие» графы толком и не рассматривают. Но ведь зря! Они и во «взрослой» математике часто встречаются, да и для приложений полезны. Как и привычка работать с системами, которые не уместишь на листочке: абстрактное мышление, ага. На самом деле из этого всего можно сделать интересный факультатив для школьников, и придумать массу задач что для олимпиад, что для «проектов». Например предложить реализовать алгоритм поиска решётки из доказательства (он конструктивный). * Вот сама статья * Моя статья про графы Кэли (пример вершинно-транзитивных графов) * И про грубую геометрию (там немного больше про грубый контекст этой задачи) Ну и последнее. Если Вы хотите помочь МЦНМО и\или почитать мою статью в бумажном виде -- то матпросвешение продаётся (журнал! Само просвещение -- не продаётся). 450 целковых.

У нас тут с Таней Казанцевой вышла статья в матпросвещении. Прорекламирую, с вашего позволения. Статья из двух частей: в первой мы доказываем теорему Халина (на самом деле это лучше структурированный перевод элементарного доказательства Дестеля), а во второй применяем эту самую теорему к вершинно-транзитивным графам. О чём теорема Халина. Пусть у нас есть бесконечный граф, в котором есть хотя бы один толстый (нейминг не мой :-) ) конец. Это значит, что в графе есть бесконечно много попарно непересекающихся эквивалентных лучей (два луча эквивалентны, если найдется третий, который пересекает каждый из них бесконечное число раз). Так вот, если у нас сложилась именно такая ситуация, то в графе оказывается найдётся гексагональная решётка. Это можно понимать как бесконечное число параллельных прямых (не лучей!) где соседние прямые соединены «перемычками». Картинку в статье посмотрите. Во второй части мы смотрим на такую штуку как рост графа. Это, грубо говоря, функция числа точек на расстоянии не более чем N от данной вершины. У прямой рост линеен, у плоскости квадратичен и так далее. Довольно просто проверить, что если в графе есть толстый конец, то он не может иметь линейный рост (сразу из теоремы Халина). Точнее так: если граф линейного роста, то все его концы тонкие. А вот обратное — вообще говоря неправда. Например бывает граф с одни тонким концом, но при этом экспоненциального роста (ну и ещё там несколько примеров с приятными картинками). А вот для вершнно-транзитивных графов при условии конечности числа концов обратное утверждение имеет место. Конечность числа концов значит, что для некоторого C количество бесконечных компонент связности после выкидывания любого конечного подграфа — не более чем C. Доказательство не очень трудное, картинки симпатичные, в общем почитайте. В принципе, вся статья писалась так, чтобы быть доступной для матшкольника. Единственное, само доказательство теоремы Халина довольно длинное. Почему я обращаю на это всё внимание и почему вообще мы взялись за такую статью. В школе обычно сосредотачиваются на конечных графах, а бесконечные или просто «очень большие» графы толком и не рассматривают. Но ведь зря! Они и во «взрослой» математике часто встречаются, да и для приложений полезны. Как и привычка работать с системами, которые не уместишь на листочке: абстрактное мышление, ага. На самом деле из этого всего можно сделать интересный факультатив для школьников, и придумать массу задач что для олимпиад, что для «проектов». Например предложить реализовать алгоритм поиска решётки из доказательства (он конструктивный). * Вот сама статья * Моя статья про графы Кэли (пример вершинно-транзитивных графов) * И про грубую геометрию (там немного больше про грубый контекст этой задачи) Ну и последнее. Если Вы хотите помочь МЦНМО и\или почитать мою статью в бумажном виде -- то матпросвешение продаётся (журнал! Само просвещение -- не продаётся). 450 целковых.

Алексей БУФЕТОВ. Семинар КТ. Воскресенье, 9 июня ✅ Замощения домино: комбинаторика и вероятность

Случайные замощения домино - элементарный объект, обладающий глубокими связями с самыми разными разделами математики и математической физики (например, комбинаторика, стат физика, теория представлений, интегрируемые системы, алгебраическая геометрия). Я кратко расскажу об основных объектах и некоторых недавних результатах; если хватит времени, то во второй половине мы более детально изучим комбинаторику модели, в частности, докажем, что существует 12988816 замощений домино шахматной доски. Для первой части доклада предварительные знания не нужны, для второй половины полезно (но не обязательно) что-то слышать о детерминанте и комплексных числах

⭐️ Алексей Буфетов — профессор университета Лейпцига 📍 Начало в 18:00 МСК/15:00 GMT. 📌 Приглашаются все желающие, регистрации нет. Ссылка на Zoom. ✉️ КАНАЛ СЕМИНАРА #семинар_кт #анонс

«Предлагаем … отрывки из статьи С.П.Новикова …, в которых он рассказывает о том, как он изучал математику и физику, и о своих первых шагах в науке.» (Квант 2018-06)

Сергей Петрович Новиков (20.03.1938–06.06.2024)

https://golem.ph.utexas.edu/category/2024/05/wild_knots_are_wildly_difficul.html продолжение сюжета про дикие узлы «Wild knots are extremely hard to classify. This is not just a feeling — it’s a theorem. Vadim Kulikov showed that wild knots are harder to classify than any sort of countable structure that you can describe using first-order classical logic with just countably many symbols!»

https://golem.ph.utexas.edu/category/2024/05/3d_rotations_and_the_cross_pro.html https://golem.ph.utexas.edu/category/2024/06/3d_rotations_and_the_7d_cross.html «There’s a dot product and cross product of vectors in 3 dimensions. But there’s also a dot product and cross product in 7 dimensions obeying a lot of the same identities! There’s nothing really like this in other dimensions. (…) There is not an irreducible representation of SO(7) on ℝ^7 that preserves the dot product and cross product. Preserving the dot product is easy. But the cross product in 7 dimensions is a strange thing that breaks rotation symmetry. There is, apparently, an irreducible representation of the much smaller group SO(3) on ℝ^7 that preserves the dot and cross product. But I only know this because people say Dynkin proved it! (…) I want to see one explicitly.»

https://arxiv.org/abs/2405.20552 T.Tao: «There has been a remarkable breakthrough towards the Riemann hypothesis (though still very far from fully resolving this conjecture) by Guth and Maynard making the first substantial improvement to a classical 1940 bound of Ingham regarding the zeroes of the Riemann zeta function (and more generally, controlling the large values of various Dirichlet series)»

https://www.mathnet.ru/present12021 и далее по ссылкам можно послушать рассказы Ф.Петрова на ЛШСМ-2015 про полиномиальный метод в т.ч. с применениями и к упоминавшимся чуть выше списочным раскраскам, и к аддитивной комбинаторике, и к q-биноимальным коэффициентам…

задача Ф.Петрова с ВсОШ-2007: доказать, что цикл длины 100 является списочно раскрашиваемым в 2 цвета — или, другими словами, если каждой вершине 100-угольника написано по два различных числа, то можно так вычеркнуть по одному числу в каждой вершине, чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными доказать это можно так рассмотрим многочлен P:=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x4)…(x100-x1) мы хотим доказать, что если для каждой переменной есть два разрешенных варианта, то для какого-то из выборов P в соответствующей точке не равен нулю а это следует из того, что коэффициент при мономе x1 x2 … x100 ненулевой ( действительно, пусть для переменной x1 разрешены значения a и b — тогда перейдем от многочлена P(x1,…) к многочлену P(b,…)-P(a,…); потом сделаем то же по следующей переменной и т.д. если для каждого из выборов значение P нулевое, то мы в итоге получим 0 с другой стороны, эта операция аддитивная, на мономе x1 x2 … x100 она ненулевая, а на всех остальных мономах из P нулевая — так как все они имеют нулевую степень хотя бы по одной переменной ) это рассуждение в скобках — частный случай “комбинаторной теоремы о нулях” и