910
Obunachilar
Ma'lumot yo'q24 soatlar
+57 kunlar
-730 kunlar
Postlar arxiv
📌UNİVERSİTETLƏR, KOLLECLƏR, İXTİSAS SEÇİMİ HAQQINDA MƏLUMAT ƏLDƏ ETMƏK ÜÇÜN KEÇİD EDİN 📌
📍Buraxılış və blok imtahanına hazırlaşanları,Miq və sertifikasiya namizədlərini,tələbələr və özünü inkişaf etdirən bütün şəxsləri nəzərə alıb bu kanalları bir yerə yığdıq.
Sənə lazım olana toxun və qoşul🔖
📌UNİVERSİTETLƏR, KOLLECLƏR, İXTİSAS SEÇİMİ HAQQINDA MƏLUMAT ƏLDƏ ETMƏK ÜÇÜN KEÇİD EDİN 📌
1² +2² +3² +... +n² =n×(n +1)×(2n +1) /6.
İsbatı.
Üsul 1.
Sonlu fərqlər metodundan istifadə edək.
s =1² +2² +3² +... +n².
Sonlu fərqlər metodu aşağıdakıdır.
Bilirik ki,1-dən n-ə qədər iki qonşu ədədin fərqi 1-dir.
Kvadratlar üçün bu fərqə baxaq.
I.
2² -1² =3
3² -2² =5
4² -3² =7
...
(n² -(n -1)² =2n -1.
II.
5 -3 =2
7 -5 =2
...
2n -1 -(2n -3) =2.
Deməli,bu ikinci tərtib sonlu fərqdir.
Asanlıqla yoxlamaq olar ki,1-dən n-ə qədər natural ədədlərin p-ci qüvvətləri p-ci tərtib sonlu fərqlər əmələ gətirir və sabit dəyəri p!-dır.
p!-a təməl fərq deyilir.
Verilən cəmi 1 və 2-lərlə ifadə edək.
s =1 +(1 +1 +2) +(1 +1 +2 +1 +2×2) +... +(1 +1 +2 +1 +2×2 +... +1 +(n -1)×2)
1-lərin və 2-lərin sayını tapaq.
1-lərin sayı
1 +2 +3 +... +n =n×(n +1) /2.
2-lərin sayı isə
1 +(1 +2) +(1 +2 +3) +... +(1 +2 +3 +... +(n -1)) =1 +3 +6 +... +n×(n -1) /2 =n×(n -1)×(n +1) /6.
Onda
s =n×(n +1) /2 +2n×(n -1)×(n +1) /6 =3n×(n +1) /6 +2n×(n -1)×(n +1) /6
=n×(n +1)×(3 +2n -2) /6 =n×(n +1)×(2n +1) /6.
İsbat olundu.
Üsul 2. Verilən cəmi s ilə işarə edək.
s =1² +2² +3² +... +n².
(x +1)³ -x³ çoxhədlisinə baxaq.
(x +1)³ -x³ =3x² +3x +1.
Bu çoxhədlidə x-in yerinə uyğun olaraq 1, 2, ..., n yazaq və tərəf-tərəfə toplayaq.
2³ -1³ =3×1² +3×1 +1
3³ -2³ =3×2² +3×2 +1
...
(n +1)³ -n³ =3n² +3n +1.
(n +1)³ -1 =3s +3×n×(n +1) /2 +n.
Buradan s-i tapaq.
s =(n +1)³ -1 -n -3×n×(n +1) /2 /3
=n³ +3n² +2n -3×n×(n +1) /2 /3
=2n³ +6n² +4n -3n² -3n /6 =2n³ +3n² +n /6 =n×(n +1)×(2n +1) /6.
İsbat tamam oldu.
