Математические байки

На самом деле — если есть счётная группа G и левоинвариантный порядок на ней, то можно заставить её действовать на прямой так, чтобы порядок приходил из орбиты одной конкретной точки. (Это доказывается взятием начальной точку и последовательным построением её орбиты так, чтобы порядок точек был бы соответствующим порядку на группе.) Так что если на счётной группе левый порядок есть, то он всегда приходит из [какого-то] действия!

Наконец, взяв счётное всюду плотное множество точек на прямой (например, рациональные) — можно увидеть, что группа Homeo_+(R) вся левоупорядочиваема. И, в частности, любая группа, которая умеет действовать на R сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами так, чтобы никто не действовал тождественно — левоупорядочиваема.

Если есть несколько точек x_0,x_1,..., и ни одно преобразование не оставляет их все на месте одновременно — то можно устроить лексикографический левоинвариантный порядок: g

Но удивительным образом оказывается, что это связано с динамикой! А именно — пусть группа G действует преобразованиями прямой, сохраняющими ориентацию. И пусть есть какая-нибудь точка x_0, которую ни один нетривиальный элемент G не оставляет на месте. Тогда это задаёт левоинвариантный порядок — будем говорить, что g

Понятно, что для задания левоинвариантного порядка достаточно задать множество "положительных" (больших e) элементов группы. И легко перевести условия полного порядка на язык множества положительных элементов (произведение положительных положительно, любой элемент положительный, отрицательный или e).

А именно: назовём группу "левоупорядочиваемой" (left-orderable), если на ней есть полный порядок "<", инвариантный относительно умножения слева: f

Вообще, [сохраняющие ориентацию] действия групп на прямой (и на окружности) это очень красивая тема, соединяющая геометрию и алгебру. Например, оказывается, что действия на прямой связаны с лево-инвариантными порядками.

(Картинка отсюда — http://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Higman.pdf )

Микеле, конечно, рассказывал не [только] об этом — это был лишь кусочек вводной части. А рассказывал он о том, как заставить группу Хигмана H_4 действовать на окружности —

Всё!

Действительно, во-первых, это бесконечная группа, потому что у H_4 нет конечных факторов. Во-вторых, она простая: если бы у неё была бы нетривиальная нормальная подгруппа, то её прообраз при факторизации H_4 -> H_4 / G был бы нормальной подгруппой H_4, большей G, а мы предположили, что G максимальная.

Так вот — возьмём (какую-нибудь) максимальную по включению, меньшую H_4, нормальную подгруппу G в группе H_4. И рассмотрим фактор H_4/G. Это и есть обещанный исторически первый пример бесконечной конечно-порождённой простой группы.

(Вопрос о том, можно ли тут совсем по-честному обойтись без аксиомы выбора, — учитывая, что процедура на каждом шагу однозначная, и совершаем мы только однократный выбор перечисления элементов H_4 — я собираюсь замести под ковёр, ибо речь сейчас не об этом.)

Но можно и совсем "вручную": перенумеровать элементы группы, начать с подгруппы {e}, и для каждого очередного элемента g_k из H_4 смотреть, можно ли его добавить в уже построенную подгруппу так, чтобы она (после добавления всех сопряжённых/обратных/степеней, чтобы остаться нормальной подгруппой) не стала H_4. Если можем — добавляем, нет — оставляем. То, что получится, когда мы пробежим всё H_4 (формально — объединение возрастающей башни подгрупп) и будет искомой.

Возьмём максимальную по включению такую подгруппу G. Такая есть; это можно увидеть стандартной техникой, через лемму Цорна — у любой "башни" вложенных нормальных подгрупп есть "супремум": объединение их всех. Это тоже нормальная подгруппа, и тоже меньшая H_4 (если она совпадает с H_4, то в неё входят все 4 образующих a,b,c,d — а тогда они входят уже в какую-то из объединяемых подгрупп, противоречие). Значит, есть "максимальный" элемент — искомая максимальная нормальная подгруппа. (Собственно, точно так же доказывается наличие базиса Гамеля в бесконечномерном линейном пространстве, и так далее — https://ru.wikipedia.org/wiki/Лемма_Цорна )

Рассмотрим нормальные подгруппы H_4, не совпадающие с самой H_4. Как минимум одна такая есть — это просто {e}.

Остаётся из неё получить простую бесконечную группу.

Теорема выше доказана.

Вот мы и получили противоречие — и тем самым доказали, что у H_n нет нетривиальных конечных факторов.