Математические байки

Лемма доказана — а теорема из неё выводится мгновенно. Потому что из неё следует, что у порядков m_i наименьшие простые делители строго возрастают. Но индексы i идут "по кругу" (по модулю n) — а возрастающая последовательность чисел замкнуться не может.

Если r не строго больше наименьшего простого делителя m, то m и r-1 взаимно просты, то есть НОД выше равен 1. И тогда 2=1 по модулю r => противоречие.

Тогда по малой теореме Ферма 2^{r-1} сравнимо с 1 по модулю r, и значит (алгоритм Евклида), 2^{НОД(m,r-1)} тоже сравнимо с 1 по модулю r.

Доказательство. Пусть r — наименьший простой делитель 2^m - 1.

(Это — из исходного текста Хигмана)

Остаётся заметить, что из малой теоремы Ферма следует вот такая лемма: Лемма. Для любого m>1 наименьший простой делитель 2^m-1 строго больше наименьшего простого делителя m.

Значит, у нас есть n "стоящих по кругу" порядков m_i, и следующий является делителем 2 в степени предыдущий минус один.

То есть b_{i+1}^{2^{m_i} - 1} = e, откуда 2^{m_i} - 1 делится на m_{i+1}.

Мы знаем, что b_i сопрягает b_{i+1} с его квадратом, b_{i+1}^2. Применив это m_i раз, получаем, что b_{i+1} совпадает со своей 2^{m_i}-й степенью:

Во-вторых, пусть теперь они все нетривиальны. Раз мы предположили, что фактор конечный, то это всё — элементы конечного порядка. То есть у каждого b_i есть свой порядок m_i>1.

Во-первых, если тривиален хотя бы один образ b_i, то тривиальны они все — потому что b_i сопрягает b_{i+1} с его квадратом; раз b_i=e, то сопряжение ничего не делает, и b_{i+1}=b_{i+1}^2, и тогда b_{i+1}=e.

Собственно, раз это фактор — на b_i выполнены те же соотношения, что и раньше на a_i, но в дополнение к ним и ещё какие-то.

А именно: пусть у нас есть какой-то конечный фактор фактор одной из групп H_n. Он порождён образами b_i образующих a_i. Давайте докажем, что они все тривиальны.

Забавным образом, эта теорема выводится из малой теоремы Ферма.

Теорема (Хигман, 1951): у группы H_n нет нетривиальных конечных факторов.

А именно, оказывается, что верно вот такое утверждение —

Просто группы H_2 и H_3 оказываются тривиальны — а вот группа H_4 уже бесконечна. Что, впрочем, неочевидно, но пока мы в это поверим. Так вот, с помощью этой группы Хигман в 1951-м построил первый пример бесконечной конечно-порождённой простой группы.

Собственно, индекс 4 подсказывает, что есть и группа H_n. У неё n образующих — a_1,...,a_n — и n соотношений: a_i a_{i+1} a_i^{-1} = a_{i+1}^2.