Математические байки

Продолжим? Вот мы, применяя алгоритм Евклида, получили последовательность P_j, начинающуюся с наших P_1=P и P_2=P' (ну или абы каких P_1 и P_2, если мы ищем топологическую степень произвольной рациональной функции R=P_1/P_2). И её можно определить вот такой цепочкой: P_1+P_3 = P_2 * Q_1, P_2+P_4 = P_3 * Q_2, P_3+P_5 = P_4 * Q_3, ... и заканчивается она на каком-то P_k=const, и P_{k+1}=0. Давайте для каждой точки x рассмотрим последовательность значений P_1(x), P_2(x), ..., P_k(x), и обозначим через N(x) число перемен знака в этой последовательности: сколько раз + меняется на - и наоборот. Классический способ формулировать теорему Штурма — как раз в терминах числа перемен знака: Теорема Штурма. Пусть P — многочлен без кратных корней, не обращающийся в ноль в точках a и b. Тогда число корней P на отрезке [a,b] равно N(a)-N(b). (А полное число вещественных корней это N(-\infty)-N(\infty), благо что знак полинома на плюс-минус бесконечности определить не проблема.) Пример: возьмём P(x)=x^2-1. Тогда P'(x)=2x, и мы получаем последовательность P_1=x^2-1, P_2=2x, P_3=1 (помните про смену знака у остатка!). Последовательность знаков в разных точках и число перемен знака: -\infty: +,-,+; 2 перемены; -2: +,-,+; 2 перемены; -0.5: -,-,+; 1 перемена; -0.1: -,-,+; 1 перемена; 0.1: -,+,+; 1 перемена; 1.5: +,+,+; 0 перемен; \infty: +,+,+; 0 перемен. Уже из бесконечностей мы видим, что число перемен знака меняется между +\infty и -\infty на 2, так что у многочлена x^2-1 два вещественных корня. Более того, такое же число перемен знака между -2 и 1.5, так что они живут на этом отрезке. Причём один из них живёт на отрезке [-2,-0.5], а второй на отрезке [0.1,1.5]. Большой прогресс! Но если серьёзно — мы только что научились алгоритмически (и довольно просто!) искать (с любой нужной точностью) все корни вещественного многочлена. Начинаем с какого-нибудь отрезка, на котором они гарантированно все лежат (за пределами которого старший член a_n*x^n превышает по модулю сумму модулей всех остальных), а потом запускаем деление пополам, последовательно деля каждый отрезок, на котором число перемен знака меняется. Осталось а) доказать; б) понять, как этот подход "склеивается" с предыдущим.

(И на этом я убежал писать бумаги дальше)

===

=== А ещё тут нашли третье представление тройки в виде трёх кубов целых чисел. Одно очевидное (1+1+1=3), второе уже выходит в отрицательные числа (но его найти это ещё простое упражнение), а вот третье нашли только что (улучшив алгоритм поиска). Текст N+1: https://nplus1.ru/news/2021/03/12/diophantine-equation Непрерывное математическое образование: https://t.me/cme_channel/2140

А про взгляд на кубику x^2+y^2+z^2-xyz=d с точки зрения SL(2,R)-матриц (и при чём тут квазипериодичность) я расскажу как-нибудь в другой раз, потому что не хочу врать в коэффициентах и знаках... Несколько соседних ключевых слов — кубика Кэли, trace map; пара ссылок — А. Городецкий, D. Damanik, Hyperbolicity of the Trace Map for the Weakly Coupled Fibonacci Hamiltonian; S. Cantat, Bers and Hénon, Painlevé and Schrödinger.

А ещё про марковские тройки была замечательная (но сложная) лекция Веселова в ЛШСМ-2017: http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=17717

Тройки Маркова — целые решения уравнения на картинке — появляются везде. Например, теорема Гурвича говорит, что у любого вещественного числа есть хорошие приближения рациональными — с константовй sqrt 5. Такая константа только для ф— золотого сечения. Если выкинуть все числа типа (mф+n)/(kф+l) — то константа для остального будет sqrt 8. И так далее. Эти константы (числа Лагранжа) выражаются через числа Маркова. Ещё красивее: вещественные точки на кубике x^2+y^2+z^2=xyz параметризуют все гиперболические структуры (конечного объёма) на проколотом торе. А целые точки на кубике (утроенные числа Маркова по сути) параметризуют такие проколотые торы, что длины (всех!) геодезических на них — это в точности (все) числа Маркова. Поэтому вместо чисел Маркова можно изучать геометрию проколотого тора. Подробности — в ссылках из короткой статьи. Придумали это независимо (и давно) Cohn и Горшков.

Пока я закопался в делах и судорожно заполняю разные бумаги — пара ссылок/кросспостов:

Но это не очень смотрится. И действительно, можно сделать сильно красивее — и при этом получится более известная формулировка теоремы Штурма про количество перемен знака и разность между ними в точках b и a. А для этого нам потребуется выйти на плоскость — но это я сделаю в следующий раз; а на сегодня я прекращаю дозволенные речи.

А что, если мы захотим найти число корней не на всей прямой, а только на каком-нибудь отрезке [a,b]? (Пусть для простоты a и b не являются корнями — в конце концов, конкретные точки можно явно подставить и проверить.) Во-первых, мы уже знаем достаточно, чтобы выкрутиться. А именно — можно найти просто число корней, меньших b — и так же найти число корней, меньших a, а потом вычесть одно из другого. Теперь, мы возьмём всё то же самое отношение P/P', но поделим его ещё на (x-b), то корни останутся теми же, но большие b будут считаться "с плюсом", а меньшие b — "с минусом". Так что топологическая степень P/((x-b)*P') равна разности числа корней, больших и меньших b. Знаем сумму (общее число вещественных корней) и знаем разность — значит, знаем по отдельности, сколько корней, меньших b, а сколько больших.

Так что — мы уже получили алгоритм, который можно применять, совсем не думая. Запускаем алгоритм Евклида (с модификацией знаков), смотрим, какие неполные частные получаются, на их топологические степени, складываем — и получаем искомое число вещественных нулей P.

А — повторюсь, топологические степени Q_j мы знаем: это 0, если степень deg_{alg} Q_j чётна, и знак старшего коэффициента Q_j, если степень deg_{alg} Q_j нечётна.

И искомая топологическая степень R это просто сумма топологических степеней неполных частных Q_j:

А если посмотреть на то, что мы делаем — то это можно назвать либо алгоритмом Евклида (с минимальной поправкой на знаки), либо — разложением в цепную дробь Хирцебруха (то есть цепную дробь "с минусами"), P_1/P_2 = Q_1 - 1/(Q_2 - 1/( Q_3 - ... ))

Обозначим P_3=-S — минус остаток, и тогда deg_{top} S/P_2 = deg_{top} -P_2/S = deg_{top} P_2/P_3. И вот у нас опять неправильная дробь. Можно опять поделить с остатком, опять перевернуть, и так далее — пока мы не дойдём до константы (у которой, естественно, будет нулевая степень).

Итак, один раз можно поделить с остатком, и степень числителя уменьшится. А что делать дальше? Да просто перевернуть дробь! Точнее, (1/y), как и (-y) — изменяющие ориентацию гомеоморфизмы окружности, поэтому они знак степени поменяют. Не сильно страшно, но неприятно. Зато если взять их композицию, (-1/y), то вот она ориентацию сохраняет (кстати, если вещественную прямую отобразить на окружность стереографической проекцией, то на ней это центральная симметрия — иными словами, поворот на 180 градусов). И поэтому для любой рациональной функции R_1 выполнено deg_{top} R_1 = deg_{top} -1/R_1.

Причём топологическую степень Q — как степень многочлена — мы уже знаем (и уже нашли в ходе первой попытки!).

Сумма Q + (S/ P_2) обращается в бесконечность либо в бесконечности — из-за Q — либо там, где обращается в ноль знаменатель. Но в первом случае она ведёт себя "топологически неотличимо" от Q (потому что отношение S/P_2 там маленькое), а во втором — от S/P_2 (потому что Q там это почти константа, где ей тягаться с бесконечностью). Поэтому мы просто считаем всё по отдельности: топологическая степень исходной дроби P_1/P_2 равна сумме топологической степени её главной части — многочлена Q — и топологической степени S/P_2.