Математические байки

Значит, если мы будем искать топологическая степень R(x)=P(x)/P'(x) через прообразы нуля — все они войдут со знаком "плюс". И мы и получили желаемое (на всякий случай — помните, что P без кратных корней):

Заметим, что корни — прообразы нуля — у неё те же, что и у самого многочлена P. Зато производная в каждой из этих точек просто равна 1! (Потому что в каждом корне x_0, раз он некратный, P'(x_0) не обращается в ноль, а тогда рядом с ним мы P(x)~P'(x_0)*(x-x_0) почти что на эту константу поделили — вот производная и стала единичной.)

(Вот она для того же многочлена P(x)=x^3-x)

Но — раз нам помешала производная, так она же нам и поможет! Давайте на неё поделим — рассмотрим рациональную функцию R(x)=P(x)/P'(x)

Казалось бы, тупик?

А именно — топологическая (приходится уточнять!) степень многочлена чётной (алгебраической) степени равна нулю (тут сокращается всё — а ещё можно сказать, что либо больших положительных, либо больших отрицательных значений он не принимает), а топологическая степень многочлена нечётной алгебраической степени это +1 или -1, в зависимости от знака старшего коэффициента.

Увы, буквально так это сделать не получается: корни идут, чередуясь, то с положительной, то с отрицательной производной, и в определении степени у нас то плюс, то минус единицы, и почти (или совсем) всё сокращается.

(график P(x)=x^3-x )

Но давайте вернёмся к степеням отображений окружности и к теореме Штурма — а то я до неё и в этот раз не доберусь. Итак, у нас написан явно вещественный многочлен (для простоты, без кратных корней) — и мы хотим найти, сколько у него вещественных корней. Если добавить к вещественной прямой бесконечно удалённую точку, то получается окружность. И многочлен (доопределённый бесконечностью в бесконечности) это непрерывное отображение такой окружности в себя. А корни это прообразы нуля, и очень бы хотелось применить как раз науку о степени.

Кстати, особенность, которая получается в проекции этой кривой — это касп. Тот самый касп, который мы пересекаем при первом преобразовании Рейдемейстера диаграммы узла: если в проекции узла есть петелька, и её "вытягиванием" убрать, то в тот момент, когда она вырождается, в одной из точек узла направление касательной совпадает с направлением проекции, и мы видим полукубическую "точку возврата":

(Рисунок из "Теории катастроф" В. И. Арнольда)

В их образе мы увидим как раз вот эту кривую — и у неё будет ещё "невидимая" компонента, которая при настоящем взгляде оказывается закрыта другой частью тора. И вот вторая картинка:

Так вот — эта картинка действительно более правильна с геометрической точки зрения. А именно — возьмём тор в R^3, и спроецируем его на "плоскость зрения" немного под углом. Отметим те его точки, где касательная к нему плоскость параллельна направлению проекцирования — иначе говоря, как раз критические точки проекции.

Чтобы картинка воспринималась, как тор, вырезаемую дырку нужно нарисовать двумя дугами — причём одну из них более длинной, а другую остановить при пересечении с первой:

Вторая же показывает, почему тор правильно рисовать так, как его рисуют. (До сих пор помню, как меня на первом курсе НМУ этому научили!) Дело в том, что если нарисовать тор от руки как "эллипс, а внутри эллипс, изображающий дырку", то это будет восприниматься скорее как кольцо, чем как трёхмерный объект (и к тому есть причина):

(Рисунок из "Теории катастроф" В. И. Арнольда)