Математические байки

Мы знаем, что у самой этой точки орбита остаётся ограниченной — но сколь угодно близко есть точки, убегающие далеко (для полиномиального отображения — на бесконечность). Если было бы можно вольно обращаться с пределами, то мы могли бы сказать, что производная стремится к бесконечности, и поэтому маленькие окрестности будут становиться всё больше и больше. И если к этому добавить инвариантность множества Жюлиа — то его часть, заключённая в такой (сколь угодно маленькой) окрестности, должна расползтись до чего-то макроскопического — и глядя на наш исходный пример с удвоением окружности, можно предположить, что до всего множества Жюлиа. Про производную, на самом деле, неправда — критическая точка (где уже производная f, а тем самым и всех итераций f^n, обращается в ноль) может множеству Жюлиа принадлежать. А вот заключение про "расползание" правильное — и я опять процитирую книгу Милнора:

Множество Жюлиа замкнуто (что, вообще-то, надо доказывать, но мы в это поверим) — а его дополнение, которое называется множеством Фату, соответственно, открыто (и тоже инвариантно как под действием образа, так и при взятии полного прообраза).

Да, пока я не забыл это проговорить — множество Жюлиа сохраняется отображением, причём как взятием образа, так и взятием полного прообраза. Потому что если у двух точек орбиты совпадают, начиная с какого-то места, то у них и устойчивость одинаковая. (И я тут замёл под ковёр, что под действием комплексно-дифференцируемой непостоянной функции образ открытого множества открыт: в отличие от вещественной ситуации, когда у отображения x^2 образ рядом с нулём покрывает только половину окрестности, в комплексном случае первый ненулевой член a*z^n ряда Тейлора всё равно даст все возможные направления-аргументы и закроет окрестность, а следующие ему не помешают.)

(Допустим, для полиномиального отображения, чтобы было проще).

Так вот — а то, к чему я всё это упоминал, это в) а что будет происходить рядом с точкой множества Жюлиа?

Видно, что хоть глобально картинка и исказилась —рука и стала больше головы — у каждого маленького кусочка пропорции не поменялись (если закрыть всё, кроме руки, или всё, кроме головы, то они по отдельности выглядят вполне нормально — а не, скажем, вытянутыми в два раза в какую-нибудь сторону).

Вот, кстати, иллюстрация из всё того же фильма Dimensions (https://youtu.be/bY4DS1RwwAE?t=306 ), где авторы взяли фотографию замечательного математика Адриана Дуади — и применили к ней рациональную функцию:

а) (оффтопик, но раз уж подвернулась возможность) Именно это — что производная это умножение на комплексное число — и говорится в условиях Коши-Римана — что нужно добавить к вещественной дифференцируемости, чтобы получилась комплексная. б) (почти не оффтопик) именно поэтому там, где производная не обращается в ноль, комплексно-дифференцируемые функции конформны: у маленькой-маленькой фигуры они могут изменить размер, но почти не искажают форму

Кстати — комплексно-дифференцируемое отображение (по определению) "под большим увеличением" рядом с точкой похоже на свою линейную часть в этой точке (по крайней мере, когда производная не обращается в ноль). А умножение на комплексное число это поворотная гомотетия.

А вот (из его же статьи с R. Stoll-ом — https://arxiv.org/pdf/1508.02935.pdf ) — картинка для областей притяжения у корней многочлена 12-й степени:

Это — три бассейна притяжения для метода Ньютона, применённого к кубическому многочлену; картинку я взял из статьи Дирка Шляйхера "Complex Dynamics, the Mandelbrot Set, and Newton’s Method — or: On Useless and Useful Mathematics" из сборника "An Invitation to Mathematics".

Правда, если привести такой пример на экзамене, то могут попросить доказать все предыдущие утверждения... Но красиво ведь! (Да, на всякий случай — примеры проще есть, и они строятся совсем "руками")

Так что, если срочно нужно привести пример трёх (четырёх, пяти, ...) открытых множеств на плоскости с совпадающей границей, то можно сделать так. Взять отображение, у которого сколько нужно притягивающих орбит — например, взяв полиномиальное отображение z-> z- 0.000001 (z-1)(z-2)...(z-5) (неподвижные точки z=1,3 и 5 будут притягивающими — производная в них будет чуть меньше 1), или, скажем, применив метод Ньютона к нахождению корней многочлена нужной степени (правда, тут получится уже рациональное отображение). И взяв бассейны притяжения этих притягивающих орбит — границей каждого из этих бассейнов притяжения будет (одно и то же!) множество Жюлиа.

(Это — кусочек из замечательной книги Дж. Милнора, "Голоморфная динамика", которую я очень рекомендую).

Вот вложение в другую сторону неочевидно. На самом деле, верно даже более сильное утверждение: множество Жюлиа является границей области притяжения любой притягивающей орбиты: