Математические байки

Abel Prize 2021: László Lovász & Avi Wigderson “for their foundational contributions to theoretical computer science and discrete mathematics, and their leading role in shaping them into central fields of modern mathematics”

Через пару минут начнётся объявление премии Абеля: https://www.youtube.com/watch?v=0_NK_OkpmUY

Ну а часть рассказа выше (подход через степени) вошла в (онлайн)-курс топологии, который мы с коллегами ведём — собственно, уже заканчиваем — для первого курса Вышки. Кто же знал, когда всё это только задумывалось, что курс с частичным онлайном и красивыми картинками вынужденно превратится в полный онлайн... From behind the stages:

(Д. В. Аносов, "Отображения окружности, векторные поля и их применения", МЦНМО, 2003)

А вот — страница из текста Д. В. Аносова 2003 года; как раз очень близко к тому, что мы уже видели раньше, только у него цепная дробь обычная, поэтому в ответе возникает чередование знаков:

Топологическая степень это ответ на вопрос, почему в множестве пар многочленов (ровно) второй степени без общих корней нельзя пройти от пары "корни чередуются" к паре "корни не чередуются" (и кстати, нельзя поменять порядок чередования корней). Ибо при одном чередовании будет обход по часовой стрелке, при другом против, а при отсутствии чередования степень нулевая.

(В. А. Васильев, "Геометрия дискриминанта")

(В. А. Васильев, "Геометрия дискриминанта")

Ещё — пара картинок из "Геометрии дискриминанта" В. А. Васильева:

Ура, победа! Мы связали топологический взгляд с классической формулировкой теоремы Штурма через число перемен знака.

Если просуммировать такое за все шаги, то получается: Число пересечений с осью ординат для исходной кривой (которое и есть то, что мы ищем) минус число пересечений с осью ординат для последней кривой, к которой мы приходим (а это просто точка (1,0), которая стоит на месте и ось ординат не пересекает) равно сумме по всем шагам разностей F(начало пути) минус F(конца пути), где F смотрит, есть ли между P_j и P_{j+1} перемена знака. Потому что арбитры в нашем случае это ось ординат (до поворота) и ось абсцисс (после), и вот дуга между ними это и есть "координаты разного знака". Ну а сумма разностей это разность сумм, и каждая из сумм это и есть общее число перемен знака в последовательности!

А если атлет начинал и закончил путь на разных дугах — то если добавить к пути замыкание "в положительном направлении", после которого суммы у арбитров совпадут, то один из двух арбитров его увидит, а другой нет. И уже совсем легко увидеть, что общий ответ такой: число пересечений (с учётом знака) для арбитра A1 минус число пересечений (с учётом знака) для арбитра А2 = F(начала пути)-F(конца пути), где F это 1, если мы начали на дуге от A2 к A1 (обозначенной тут +-), и 0 иначе.

Если по окружности-стадиону бежит атлет и возвращается в итоге в начальную точку — число кругов, которые он пробежал, можно посчитать, встав в любую точку стадиона и считая пересечения (если он пробежал куда надо, то с плюсом, а если обратно, то с минусом). А если траектория атлета незамкнута — то арбитры, стоящие в разных точках круга, могут получить разные суммы. Но не сильно: если атлет начал и закончил бежать на одной и той же дуге, то их результаты совпадут — потому что он после этого может пройтись от конца своего пути к началу, не проходя мимо арбитров, и получить уже замкнутый путь.

Уже звучит очень естественно, что важно, пересекут ли в процессе поворота (кривой или системы координат — кому как удобнее) концы кривой ось ординат, пересечения с которой мы считаем. Но проще всего в этом убедиться, уронив всю ситуацию обратно на проективную прямую (= окружность, образуемую всеми прямыми через ноль).

А вот на операциях "повернуть" — можем поменять. Потому что сначала мы считали (с учётом знака) пересечения с одной прямой, а потом с другой. Если бы мы работали с замкнутой кривой, то мы бы считали буквально степень отображения окружности, и ничего поменяться бы не могло, потому что при повороте прямой прообразы бы только сливались "плюс с минусом", и ничего бы не менялось. Но если мы работаем с отрезком [a,b] параметров — то у отрезка кривой есть концы. И вот тут-то мы с числом перемен знака и столкнёмся!

После чего продолжили в том же духе. Так вот — на операциях "добавить" мы пересечения с осью ординат не меняем (потому что добавляем первую координату, на что-то там умноженную). И их тип (по или против часовой стрелки) тоже.

И добавили ко второй координате первую, умноженную на Q_1 — из (P_2,-P_1) получив (P_2,P_3).