Математические байки

А в положении "под 90" получается 0.43:

Ну и 0.46 можно, опять-таки, прикинуть — посмотрев на полусумму долей времени выигрыша Меркурия, по двум противоположным положениям Земли. Когда Меркурий с Землёй на одной прямой через Солнце, то в ближайшем положении он довольно сильно выигрывает, в наиболее удалённом больше всего проигрывает, но даже так среднее арифметическое даёт 0.49:

Впрочем, несмотря на всё вышесказанное, для нашей тройки Меркурий-Венера-Марс, выигрывает таки Меркурий, примерно с соотношением 0.46:0.36:0.18.

(Но это если орбиту внутренней планеты взять круговой радиуса 0.4)

Кстати, можно прикинуть, сколько их для этого нужно. Дуга размера 72 градуса это (1/5) от длины окружности, так что нам нужно, чтобы выполнялось (4/5)^N < 1/(N+1). (4/5)^10 это чуть больше 0.1, а вот (4/5)^12 уже 0.068<0.7<1/13.

А вероятность этого экспоненциально мала (по количеству N Венер). Так что, начиная с определённого их количества, она становится меньше 1/(N+1) — и выиграет одна из N Венер.

А именно — представим себе, что вместо одной Венеры по близким орбитам их крутится пара-тройка десятков (кто сказал "пояс астероидов"?), с немного отличающимися периодами. Тогда, чтобы Меркурий выиграл, нужно как минимум, чтобы на дуге через ближайшую точку его орбиты не было ни одной Венеры:

Увы, дальше начинает работать парадокс голосования: может быть, Марс, который не может выиграть — оттянет на себя "голоса" (простите, долю времени) у Меркурия, и из-за этого выиграет Венера. Более того, можно построить "искусственный пример" (чисто математический, конечно), когда все орбиты круговые, с независимыми периодами — но выигрывает не самая внутренняя планета!

Каждой из этих долей соответствуют точки орбиты Венеры внутри соответствующих окружностей с центром в одном из положений Земли. Но внутренности этих окружностей пересекаются только внутри орбиты Венеры — а значит, высекаемые ими кусочки орбиты Венеры не пересекаются. И поэтому полусумма долей, когда Венера выигрывает у Меркурия при одном и при другом положении Земли, меньше половины. Усредняя — получаем, что Венера у Меркурия выигрывает меньше половины времени, так что в "зачёте матчей один на один" Меркурий точно выигрывает. (И это рассуждение вполне универсальное.)

Потому что — для каждого положения Меркурия посмотрим, какую долю времени выигрывает у него Венера, когда Земля находится где-нибудь — и когда она на диаметрально противоположной точке своей орбиты:

И если бы мы сравнивали друг с другом только их — то победа Меркурия (даже с учётом эллиптичности его орбиты) получалась бы рассуждением классической геометрии 🙂

А раз победитель (из трёх кандидатов) должен быть ближайшим больше трети времени — то Марс не может выиграть. Остаётся решить, кто выигрывает — Меркурий или Венера.

Я тут, конечно, сильно сжульничал, пустив Меркурий по круговой орбите радиуса 0.4, вместо заметно эллиптической. Но тут можно сказать, что в зависимости от положения Земли эллиптичность может сыграть Меркурию как в минус (если он окажется дальше), так и в плюс (если он окажется ближе). И в первом приближении это должно повлиять не очень сильно.

Когда Меркурий близко к Земле — поражение Марса почти неминуемо, ему остаётся меньше десятой доли времени. И это всё ещё без учёта Венеры — которая тоже возьмёт свою долю (особенно в "удобных" условиях, когда Меркурий "отошёл подальше").

Когда Меркурий "под 90 градусов" — Марсу остаётся уже немного меньше трети.