Математические байки

И её в каких-то случаях получается проконтролировать — и как только мы знаем, что она большая, это и гарантирует концентрацию меры (а также большое первое собственное значение оператора Лапласа и потому "быстрое" расползание случайного блуждания).

Константа, которую можно в нём поставить, называется константой Чигера — https://en.wikipedia.org/wiki/Cheeger_constant#Definition (и, кстати, есть она и для графов — https://ru.wikipedia.org/wiki/Константа_Чигера_(теория_графов) )

С другой стороны, возвращаясь, — хоть рассуждение для разброса мы закончили, вместо явного счёта сказав, что "широта" arcsin x_1 это самая разбросанная функция — вообще-то нам достаточно было бы иметь "хорошее" изопериметрическое неравенство (какое максимальное отношение площади поверхности к ограничиваемому ей объёму). Нужно было только его получить/написать.

[И это как раз то место, где я не сильно, но заметно, привираю, путая расстояния "в R^n" и "по поверхности сферы". Чтобы мои слова стали совсем правдой, нужно брать расстояния по поверхности, произнести слова "риманова метрика", и брать функцию arcsin x_1. Те, кого они не пугают — вот после этого всё совсем почти честно]

Поэтому самое медленное убывание, которое бывает, будет как раз для функции x_1. А для неё мы знаем, что даже она сконцентрирована с разбросом ~1/\sqrt{n}. Ура, победа!

Более того, на самом деле на сфере (что очень естественно) наибольший объём, который можно отрезать данной площадью, это "полярная шапка".

Так что — если мы знаем, как устроено изопериметрическое неравенство для многомерной сферы (чего я, формально говоря, не сказал, но скажу сейчас, что с этим всё хорошо), то мы сможем сказать, что отрезаемый объём будет убывать быстро.

А площадь поверхности {f(x)=a} можно сравнить с отсекаемым ею объёмом {f(x)>a} — и изопериметрическое неравенство скажет, что нельзя отрезать "большой" объём маленькой площадью.

Поскольку функция 1-липшицева — скорость ужимания не меньше, чем площадь "поверхности уровня" {f(x)=a}. Потому что если мы возьмём \eps-окрестность этой поверхности — то значения в ней в силу 1-липшицевости не выходят за предел [a-\eps, a+\eps]. Так что при переходе от {f(x)>a} к {f(x)>a+\eps} мы, например, смотрящую "внутрь" часть этой \eps-окрестности теряем, а у неё объём это примерно площадь {f(x)=a}, умноженная на \eps ("площадь основания на высоту").

И будем от него отходить вверх и вниз и смотреть, как "ужимаются" области {x: f(x)>a} и {x: f(x)

Удивительным образом, увидеть это удаётся очень "дёшево". А именно — давайте возьмём медианное значение функции, ту поверхность уровня, которая делит сферу на две части равной площади.

Так что мера получается сконцентрированной, с характерным разбросом порядка 1/\sqrt{n}. Более того, функция x_1 оказывается, в каком-то смысле [я тут чуть-чуть привираю — но чуть ниже уточню], "самым разбросанным" примером.

Посмотрим на распределение её значений — на какой доле площади точек сферы она принимает какие значения. Оказывается (и это и есть эффект "концентрации меры"), что в основном эти значения очень сконцентрированы. А именно — хоть (как, собственно, и для функции x_1) максимальное от минимального может отличаться на 2 (на диаметр сферы), на 95% площади принимаются значения, отличающиеся друг от друга на const/sqrt{n} (и на 99%, и на 99.9%, вопрос только в константе).

Вернёмся теперь к словам "концентрация меры". А именно — пусть на n-мерной единичной сфере задана какая-то 1-липшицева функция f (то есть такая, что |f(x)-f(y)|<|x-y|) — как в примере выше мы рассматривали функцию f(x_1,...,x_n)=x_1.

То есть r это "почти константа \sqrt{n}". Ну а исходная случайная величина \xi_1 была точно N(0,1). Значит, \sqrt{n}* x_1 = \xi_1 * (\sqrt{n}/r) — почти N(0,1), и чем больше n, тем точнее это "почти".

Но r^2=x_1^2+...+x_n^2 — это сумма n _независимых_ одинаково распределённых случайных величин. И как нас учит закон больших чисел, r^2/n с очень большой вероятностью близко к математическому ожиданию любой из них — то есть к единице.

Тогда это распределение сферически симметричное: плотность в R^n у него зависит только от расстояния до начала координат. Значит, если мы спроецируем выбранную таким образом точку на единичную сферу — получится равномерно распределённая точка на сфере. И её первая координата будет равна x_1=\xi_1/r.

Наиболее простой способ это увидеть такой. Давайте возьмём n независимых, распределённых как N(0,1) случайных величин \xi_k. Тогда у каждой из них плотность это (1/sqrt{2π}) * exp(-x^2/2), а совместная плотность в R^n — это их произведение, то есть 1/(2π)^{n/2} * exp(-r^2/2), где r^2=x_1^2+...+x_n^2 — радиус.

И это таки да правда — и более того, при увеличении n распределение произведения \sqrt{n}*x_1 сходится к гауссову нормальному распределению N(0,1) — тому самому, которое самое замечательное в теории вероятностей, и сходимость к которому утверждает ЦПТ.

Но поскольку сумма квадратов всех n координат равна единице, x_1^2+...+x_n^2=1, то "естественно ожидать", что на квадрат каждой координаты в среднем приходится по 1/n. То есть x_1 (который вообще-то принимает значения от -1 до 1) "обычно" будет иметь порядок 1/sqrt{n}.