Математические байки

Следующее упражнение, что два параллелограмма с равной площадью и общим основанием равносоставлены. Пока они не сильно наклонены, можно обойтись вообще одним переставляемым треугольником:

Первый раз я его, кажется, услышал на лекции А. А. Гайфуллина два года назад на ЛШСМ — http://www.mathnet.ru/present21265 ; удивительно поздно, с учётом того, что рассуждение абсолютно школьное — но как-то раньше я факт знал, а доказательство посмотреть руки не доходили. Собственно, понятно, что равносоставленность это отношение транзитивное (если A~B и B~C, то A~C: из аналогии с ножницами это очень хорошо видно). Поэтому можно выбрать единицу длины и доказывать, что любая фигура равносоставлена прямоугольнику размера 1xS. А поскольку любой многоугольник можно разрезать на треугольники — то достаточно это доказать для всех треугольников. Наконец, треугольник просто превратить в параллелограмм:

Кстати — без запрета на повороты частей ответ на вопрос, когда из одной фигуры "ножницами" можно сделать другую, даёт теорема Бойяи--Гервина. А именно — два многоугольника равносоставлены тогда и только тогда, когда у них совпадают площади. Часть "только тогда" очевидна — а вот для "тогда" нужно поработать; правда, доказательство получается вполне обозримым.

Этот вопрос задавал Сэмюэль Лойд — автор множества головоломок; а с картинки выше начинается вот эта статья — https://images.math.cnrs.fr/La-mesure-des-figures-du-plan.html . Собственно, Images de Maths я очень люблю, и там есть ещё много интересного — например, рассказ о "кубическом" футбольном мяче, http://images.math.cnrs.fr/Le-Brazuca-le-ballon-cubique-de-la-Coupe-du-monde , заслуживает отдельного поста.

80 лет назад родился Николай Борисович Васильев (08.08.1940–28.05.1998) http://mi.mathnet.ru/mp35 http://kvant.mccme.ru/au/vasilev_n.htm

И ещё —

Ещё "слайды" из сегодняшнего рассказа —

Алаверды к появившемуся на доске уравнению Пелля — В. О. Бугаенко, "Уравнения Пелля": https://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.13.pdf

Математические вечера ЛШСМ завершаются. Сегодня в 16 часов — последняя лекция, А.П.Веселов и В.Ю.Овсиенко будут рассказывать старое и новое о цепных дробях «Хорошо известно, что обычные цепные дроби полезны для рациональных приближений действительных чисел, и что периодические цепные дроби — это в точности квадратичные иррациональности. Оказывается, что аналоги цепных дробей над кольцом полиномов от одной переменной полезны для описания эллиптических интегралов, берущихся в элементарных функциях. Об этих замечательных результатах Абеля и Чебышева будет рассказано в первой части лекции. Во второй части будет рассказано о новой версии подобных цепных дробей, возникшей недавно в связи с комбинаторикой и кластерными алгебрами. Эта новая версия оказалась связанной также с теорией узлов и легла в основу понятия “квантовых” или “q-деформированных” чисел.»

А через пару минут начинается заключительная лекция "Математических вечеров ЛШСМ"