Математические байки

(Иллюстрация отсюда — https://www.mccme.ru/free-books/dubna/lvovski-developables.pdf )

Давайте теперь свяжем эти два подхода. А именно: если мы теперь возьмём плоскость z=1. С одной стороны, это обычная плоскость с обычной геометрией в ней. С другой, большинство прямых через начало координат в R^3 её пересекут в единственной точке — и вот и соответствие между прямыми и точками на плоскости. А те прямые, что плоскости параллельны — и будут бесконечно удалёнными точками.

Я помню, как когда-то на первом курсе меня это поразило — а сейчас, наоборот, кажется очень естественным. Ведь совершенно неважно, какие именно объекты выступают в качестве точек нашей геометрии, лишь бы аксиомы выполнялись. Пусть хоть слоны с крокодилами в зоопарке — лишь бы через любых двух крокодилов проходил ровно один слон.

А именно: точка проективной плоскости это, по определению, прямая в трёхмерном пространстве, проходящая через начало координат.

Это хорошо, но неприятно, что точки теперь разделились на «конечные» и «на бесконечности»: в геометрии ведь хорошо то, что все точки равноправны. Так вот, оказывается, есть эквивалентное, но гораздо более «инвариантное» определение.

Решая геометрическую задачу и разбирая случаи, «а что, если эти две прямые не пересекаются, а параллельны», часто бывает удобно сказать, что две параллельные прямые «пересекаются на бесконечности». То есть формально добавить к плоскости «точки на бесконечности», в которых они пересекутся. Таких точек будет по одной на каждое направление; а все вместе они образуют бесконечно удалённую прямую. И когда такое добавление сделано — то, например, любые две различные прямые пересекаются ровно в одной точке. А пополненная плоскость называется проективной.

Второй подход — линейно-алгебраический; но для него мне сначала нужно будет сказать слова «проективная плоскость» и «проективное пространство». Заранее прошу прощения у тех, кто с ними уже хорошо знаком — несколько следующих сообщений можно пролистать, не читая.

Значит, P это точка пересечения l_4 с этим гиперболоидом. И каждый вариант точки пересечения даёт свою прямую l. Вот и геометрический ответ — что есть столько прямых, в скольки точках l_4 пересекает соответствующий гиперболоид. Типичным образом их две, как корней у квадратного уравнения (ограничения уравнения гиперболоида на эту прямую) — но они могут комплексными.

Пусть прямая l пересекает l_1,l_2,l_3,l_4; посмотрим, где может лежать точка пересечения P прямой l с l_4. С одной стороны, P должна быть на гиперболоиде, проходящем через l_1,l_2,l_3 (потому что l лежит там целиком). С другой — P лежит на l_4 по определению.

Значит, любая прямая, которая пересекает l_1,l_2,l_3, обязана лежать на проходящем через них гиперболоиде. (И значит, это прямая из второго семейства.) Остаётся вернуться к вопросу про четыре прямых.

А сам гиперболоид задаётся уравнением второго порядка. Ограничение которого на прямую — уравнение второго порядка с тремя различными корнями. То есть тождественный ноль.

А нет ли других прямых, которые данные три пересекают? Нет: ведь три прямые l_1, l_2, l_3 не имеют общих точек (даже на бесконечности — они ведь скрещивающиеся!), значит, любая прямая l, которая их всех пересекает, имеет хотя бы три общих точки с гиперболоидом.

А если ещё к пространству — и к гиперболоиду — добавить "бесконечно удалённые точки" (договорившись, что добавляется по одной точке для каждого направления, и что через эту точку проходят все параллельные прямые этого направления), то и вообще любая прямая одного семейства пересекает все прямые другого (просто одну — на бесконечности).

Ответ — нужно взять однополостный гиперболоид, на котором эти три прямые лежат. На однополостном гиперболоиде любая прямая одного семейства пересекает почти все прямые другого семейства — кроме одной, которой она параллельна (и которая получается симметрией относительно центра гиперболоида).

Первый — геометрический. Оставим из четырёх прямых только три, и спросим себя — как устроены те прямые, которые их все пересекают? И что заметает их объединение?

Давно обещанная последняя часть этой истории. Есть классический вопрос в геометрии: сколько прямых пересекают четыре заданных попарно скрещивающихся прямых в пространстве? И есть два совершенно разных подхода к нему.

И это утверждение следует из "теоремы о волшебной палочке" Эскина и Мирзахани (о которой Антон Зорич пишет тут — https://arxiv.org/abs/1502.05654 ) — но на этом пять минут Элизы истекли, и все пошли пить (традиционный) чай с плюшками.

Тогда, как рассказывает Элиза (и Мазур в Numberphile), где бы ни находился точечный источник света, он осветит всю комнату, кроме, быть может, _конечного_ числа точек.