Математические байки

Получается условие, что сдвиги фазы все должны быть кратными 2\pi. И в результате мы получаем на плёнке засвеченные отдельные точки — если аккуратно поразбираться, это пересечение некоторой сферы с двойственной решёткой в сопряжённом пространстве, но я не хочу лезть в такие детали; главное — что мы получаем некоторую картину, по которой можно восстановить исходную решётку, но это действие нетривиальное.

Поэтому в "большинство" направлений в итоге ничего не уйдёт — если хоть один сдвиг фазы не кратен 2\pi, то все атомы изображают из себя лебедя, рака и щуку, и в сумме дают ноль. (Потому что такой сдвиг между атомами решётки можно повторять снова и снова, на то она и решётка, а тогда среднее должно быть инвариантно относительно соответствующего сдвига фазы, и это может быть только тождественный ноль.)

(image credit: Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Bragg%27s_law )

Но фаза при этом может сдвинуться:

Берём _моно_кристалл; и светим на него рентгеном. Можно считать, что каждый отдельный атом решётки рассеивает падающее излучение (волну) во все стороны. Но. Атомов-то много. И каждый рассеивает во все стороны.

Ну и, заговорив о квазипериодичных мозаиках, нельзя не упомянуть квазикристаллы. Есть такая наука — кристаллография. Собственно, занимающаяся изучением кристаллов, и недавно отпразновавшая своё столетие. (Кстати — вот этот небольшой мультфильм, который по этому случаю сделали, мне очень нравится: https://www.youtube.com/watch?v=uqQlwYv8VQI ) Интересно, как именно ещё до всяких электронных микроскопов люди сумели "заглянуть" в кристаллическую решётку и измерить её; казалось бы, с нашего "макроскопического" масштаба до отдельных атомов "не дотянуться".

(picture source: Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling )

А вот обладающая таким же свойством мозаика Пенроуза (разбиение плоскости на ромбы двух типов, тоже квазипериодичное):

Кстати — как можно увидеть из этой картинки, после нескольких (шести, если я не обсчитался) замен мы получаем 10 красных треугольников, образующих круг. Поэтому, применив предыдущее утверждение к n+6 вместо n, можно ещё к этому добавить, что есть не только копия, а копия в любом из 10 возможных поворотов на кратные 36 градусам углы.

Формально — найдётся R, такое, что в любом круге радиуса R найдётся копия n-кратного образа красного треугольника.

С другой стороны, любой конечный кусочек замощения, который хоть где-то встречается, встречается достаточно регулярно. Потому что он содержится в образе красного треугольника после какого-то числа n замен, а красные треугольники (а значит, и их образы) "есть везде".

Поэтому периодичным оно быть не может: Ф иррационально.

А раз наше замощение режется на красные и синие треугольники — то оно режется и на, скажем, их 5-е образы, в каждом из которых отношение количеств К:С близко к Ф. А если недостаточно близко, то можно резать на 10-е образы, или на 20-е...

Потому что количество красных и синих треугольников в образе красного или синего треугольника после n замен это пара последовательных чисел Фибоначчи (упражнение: докажите это!)

И получающееся замощение — "квазипериодично". С одной стороны, отношение количеств красных и синих треугольников в больших кусочках этого замощения стремится... конечно же, к золотому сечению Ф.

А объединив 10 таких углов — получим и разбиение всей плоскости.

И точно так же, как из их итераций в пределе получалось бесконечное (вправо) слово — тут мы получим замощение угла в 36 градусов на плоскости: