Математические байки

К сохраняющей площадь проекции — кусочек со страницы Мат. Этюдов: https://etudes.ru/etudes/sphere-area/ (На всякий случай: там есть больше, и история с проекцией по окружностям интересная, но мы туда сейчас не пойдём.)

Давайте досчитаем? Мы получили, что для прямоугольного треугольника на сфере s(c) = s(a) + s(b) - (1/2πR^2) s(a) s(b), где s(r) это площадь круга радиуса r на сфере. Давайте уберём коэффициент: рассмотрим отношение q(r):= s(r) / (2πR^2), тогда просто q(c) = q(a) + q(b) - q(a)*q(b). И кстати, у q(c) есть отличный смысл: это доля, которую круг занимает от площади полусферы! Но ещё — при виде выражения A+B-AB просто-таки напрашивается вычесть единицу, ну или вычесть его из единицы, чтобы результат разложился на множители. И мы получим — (1-q(c)) = (1-q(a))(1-q(b)). Отлично! А чему величина 1-q(r) равна, что будет, если её посчитать? Давайте возьмём сферу и нарисуем касающийся её вдоль всего экватора цилиндр. Оказывается, что площади колец, которые пара параллельных горизональных плоскостей вырезает на сфере и на цилиндре — одинаковы! (А если мы спроецируем сферу на цилиндр по лучам, идущим от «вертикальной» оси от северного до южного полюса, и перпендикулярным ей — то такая проекция будет сохранять площади.) Поэтому площадь сферической шапочки, заданной центральным углом θ =r/R, равна A= 2πR^2 (1-cos θ), а площадь её дополнения до полусферы — и просто 2πR* (R cos θ) = 2πR^2 * cos θ. Так что 1-q(r) = cos θ = cos (r/R), и сферическая теорема Пифагора записывается в своём окончательном виде: cos (c/R) = cos (a/R) cos (b/R). И вот это уже окончательный вид сферической теоремы Пифагора!

Давайте досчитаем? Мы получили, что для прямоугольного треугольника на сфере s(c) = s(a) + s(b) - (1/2πR^2) s(a) s(b), где s(r) это площадь круга радиуса r на сфере. Давайте уберём коэффициент: рассмотрим отношение q(r):= s(r) / (2πR^2), тогда просто q(c) = q(a) + q(b) - q(a)*q(b). И кстати, у q(c) есть отличный смысл: это доля, которую круг занимает от площади полусферы! Но ещё — при виде выражения A+B-AB просто-таки напрашивается вычесть единицу, ну или вычесть его из единицы, чтобы результат разложился на множители. И мы получим — (1-q(c)) = (1-q(a))(1-q(b)). Отлично! А чему величина 1-q(r) равна, что будет, если её посчитать? Оказывается, что площадь сферической шапочки, заданной центральным углом θ =r/R, равна A= 2πR^2 (1-cos θ). Так что 1-

Для удобства, давайте я тут повторю иллюстрацию к плоскому случаю — скриншот из всё той же статьи Григория Мерзона (image credit: Г. Мерзон, Пифагор на велосипеде, Квантик, 2019, №8).

Действительно — мы уже знаем (хоть всё ещё это и не доказали), что при обходе фигуры площади S на сфере мы поворачиваемся на суммарный угол не 2π, как на плоскости — а на меньший, 2π - (S/R^2). Потому что на (S/R^2) повернулась касательная плоскость при параллельном переносе вдоль нашей кривой. Значит, если проведём из каждой точки отрезок касательной длины b (он же — наш велосипед), при приближении многоугольником и разбиении на сектора сумма их углов такой и будет. А значит, их суммарная площадь будет равна площади (сферического!) круга, умноженной на отношение углов, полученного и полного: (2π - (S/R^2)) / 2π = 1 - (1/2πR^2) S. Отлично! Теперь можно и сферическую теорему Пифагора записать. Давайте действовать, как в статье из Квантика: возьмём прямоугольный треугольник на сфере (с катетами a и b и гипотенузой c), и завращаем его вокруг вершины, где сходятся a и c. Пусть s(r) — площадь круга на сфере радиуса r (в смысле сферической геометрии — мы движемся только по поверхности сферы). Завращав треугольник, мы получили круг радиуса с, соответственно, площади s(c). С другой стороны, он разбивается на круг радиуса a и площади s(a), получившийся из первого катета, и « кольцо », получившееся из второго катета — для которого формула выше даёт площадь (1- (1/2πR^2)s(a)) * s(b). Приравняв одно к другому и раскрыв скобки, получаем: s(c) = s(a) + s(b) - (1/2πR^2) s(a) s(b). Это ещё не окончательный вид — теорему Пифагора на сфере можно записать (и доказать) гораздо проще. Но это вид, к которому мы пришли, просто повторив рассуждения для плоскости — и воспользовавшись только что полученным знанием про дефект угла на сфере!

Так вот — эту (прекрасную!) статью Григория Мерзона в « Квантике » я тут вспомнил не случайно. Она заканчивается вопросом про то, что происходит на сфере (см. скриншот). Так вот: всего, что мы сказали выше, достаточно, не только чтобы ответить на этот вопрос — но и чтобы вывести сферическую теорему Пифагора!

А вот соответствующая статья в "Квантике" — https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/pythagoras-final.jpg (Квантик, 2019, №8; рис. — А.Вайнер)

Это — частный случай велосипедной теоремы: пусть отрезок-велосипед (у которого вершина-заднее колесо может двигаться только в направлении отрезка-рамы, а вот вершина-рулевое колесо — куда угодно) проезжает по какому-то пути и возвращается в исходное положение, сделав один "оборот". Рассмотрим кривые, по которым проехали переднее и заднее колёса, и ограничиваемые ими площади (с учётом знака и/или кратности, если кривые самопересекающиеся). Тогда разница между этими площадями равна πb^2, где b — длина рамы велосипеда. На фото: доказательство теоремы. Путь заднего колеса приближается многоугольником, и тогда переднее едет то по прямой, то по дугам окружностей радиуса b (когда нужно повернуть), см. "сектора" на этой фотографии. И получается в точности теорема о сумме внешних углов многоугольника!

На фото (с лекции этим утром в школе "Интеллектуал"): Григорий Мерзон засовывает теорему Пифагора в блендер/центрифугу, размазывая прямоугольный треугольник до полной однородности. Площадь πb^2 кольца, заметённого вторым катетом, равна разности площади πc^2 большого круга, заметённого гипотенузой, и площади πa^2 малого круга, заметённого первым катетом.

Продолжим? Вот этот сюжет я узнал от Григория Мерзона четыре года назад: как доказать теорему Пифагора с помощью велосипедной математики. Достаточно засунуть прямоугольный треугольник в центрифугу!

И в дополнение к этим ссылкам (а там интересно, включая разные варианты планиметров) — A. Kriloff, On the hatchet planimeter [О планиметрѣ-топорикѣ], 1903, https://www.mathnet.ru/rus/im7701

На картинке — планиметр, прибор для измерения площадей. Один конец закрепляется на бумаге, другим обводят контур фигуры — и планиметр чисто механически вычисляет ее площадь. Если думать про площадь в терминах… клеточек, которые занимает фигура или каких-то подобных, то это кажется довольно удивительным. Можно сказать, что это механическая реализация математики формулы Грина. Это все тема несколько забытая, но какие-то тексты в интернете можно найти (1) (2) (3) (4)

И если мы обведём маленькую (по сравнению с длиной рукояти) кривую, ограничивающую площадь S, то топор вернётся не в исходное положение, а повернётся на какой-то угол. И угол этого поворота примерно равен S/L^2, где L — длина топорища! Image credit: Mark Levi and Serge Tabachnikov, On bicycle tire tracks geometry, hatchet planimeter, Menzin’s conjecture and oscillation of unicycle tracks, Experiment. Math. 18(2):(2009), pp. 173-186; цветная версия иллюстрации из препринта: https://arxiv.org/abs/0801.4396 .

Ещё наш «параллельный перенос» можно описать, как «прокатывание» по сфере касательной плоскости без проскальзывания. А утверждение (которое мы пока не доказали!) состоит в том, что в результате такого прокатывания по границе фигуры площади S плоскость поворачивается на угол, равный S/R^2. И мне тут вспоминался планиметр. Вообще это тема для отдельного рассказа (и коллеги о нём ещё давно писали — https://t.me/cme_channel/550 ), но если в двух словах, то это прибор, позволяющий найти площадь плоской фигуры. Найти — для некоторых конструкций точно, а для некоторых — приближённо. Штука совершенно прикладная: на карте отмечена какая-то область, и мы не считаем её площадь по клеточкам, а обводим «указателем» прибора — и сразу получаем ответ. Очень удобно! Так вот — конструкции бывают разные, но самая изящная (и связанная с «велосипедной математикой») это «топорик». Представим себе топорик с очень длинной рукоятью — или колесо на длинной же ручке, или просто велосипед с длинной рамой (у которого заднее колесо не поворачивается). Обведём кончиком рукояти (или передним колесом велосипеда) кривую. Топорище/заднее колесо может ехать только вдоль ручки — и его движение полностью задаётся тем, как движется кончик рукояти/переднее колесо.

Скриншот: Математические Этюды, https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/

А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!) Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные. Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой? Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз. А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А cos x = 1 - x^2/2 + …, так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N). Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием. Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось. Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π! Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом! Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком). (И это не конец рассказа, конечно.)

Сумма внутренних углов треугольника равна π (ну или 180 градусам). Разрезав n-угольник на треугольники — легко доказать, что для него сумма равна π(n-2). На самом деле — и то, и другое это проявление того, что сумма внешних углов равна 2π, полному обороту. (Если многоугольник выпуклый, то буквально так, если невыпуклый, то с учётом знаков.) Потому что — представим себе, что мы обходим вокруг многоугольного забора на плоскости. В каждой вершине мы как раз поворачиваемся на соответствующий внешний угол, а суммарно делаем полный оборот. На скриншотах — модель с сайта Математических Этюдов, иллюстрирующая это: секторы-внешние углы параллельно переносятся в одно место и собираются в полный угол.

https://mccme.ru/nir/seminar/index24.htm#markelov 16 января на семинаре учителей математики будет мини-конференция, посвященная памяти Сергея Маркелова (1976–2024) МЦНМО, с 17:45 (расписание на сайте) приглашаются все желающие — и в этот раз возможно семинар будет интересен и старшеклассникам

📚 Сергей Валерьевич Маркелов был популяризатором науки, организатором и составителем заданий Математического праздника, автором задач Московской олимпиады школьников по математике, Турнира Городов, Турнира Ломоносова, Олимпиады по геометрии им. И.Ф. Шарыгина. ⭐️ Коллеги собрали несколько его увлекательных заданий, попробуйте решить их и вы: olimpiada.ru/article/1161

https://etudes.ru/etudes/Dandelin-spheres/ Шары касаются эллипса в его фокусах! С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!