MASSAR BEMAC

Quiz challenge 🔥

ابدأ بحساب: f(x) − x. ━━━━━━━━━━━━━━ ⑤ إثبات أن معادلة تقبل حلًا وحيدًا ━━━━━━━━━━━━━━ لتكن: g(x) = x³ + 2x + 1. نريد إثبات أن: g(x) = 0 تقبل حلًا وحيدًا α في ]−1, 0[. ✍️ نموذج تحرير الحل: الاستمرارية: g دالة كثيرة حدود، إذن مستمرة على [−1, 0]. اتجاه التغيّر: g′(x) = 3x² + 2. بما أن x² ≥ 0: g′(x) ≥ 2 > 0. إذن g متزايدة تمامًا على [−1, 0]. صور طرفَي المجال: g(−1) = −1 − 2 + 1 = −2. g(0) = 1. إذن: g(−1) < 0 < g(0). الاستنتاج: بمبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة g(x) = 0 تقبل حلًا α في ]−1, 0[. وبما أن g متزايدة تمامًا على هذا المجال، فإن هذا الحل وحيد. 📌 واش لازم تفهم؟ • الاستمرارية ووقوع 0 بين صور الطرفين: لإثبات الوجود. • التزايد التام أو التناقص التام: لإثبات الوحدانية. ⚠️ ما تكتبش: «صور الطرفين مختلفتا الإشارة، إذن الحل وحيد». مازال لازم تبرّر الاستمرارية والوحدانية. ━━━━━━━━━━━━━━ ⑥ حصر الحل α ━━━━━━━━━━━━━━ بعد إثبات وجود الحل ووحدانيته، نبحث عن حصر أدقّ. ✍️ مثال محلول: g(−0.5) = (−0.5)³ + 2(−0.5) + 1 = −0.125 − 1 + 1 = −0.125. g(−0.4) = (−0.4)³ + 2(−0.4) + 1 = −0.064 − 0.8 + 1 = 0.136. إذن: g(−0.5) < 0 < g(−0.4). وبما أن g مستمرة ومتزايدة تمامًا: −0.5 < α < −0.4. ✍️ حصر أدقّ: g(−0.46) = −0.017336. g(−0.45) = 0.008875. إذن: −0.46 < α < −0.45. 💡 الطريقة: نختار عددين أقرب، نحسب صورتيهما، ونتحقّق أن 0 بين الصورتين. ⚠️ ما تقرّبش النتائج إلى الصفر قبل دراسة الإشارة. احتفظ بأرقام كافية باش تميّز الموجب من السالب. ✍️ تطبيق مستقل: احسب: g(−0.454) وg(−0.453). ثم اكتب حصرًا لـα سعته 0.001. ━━━━━━━━━━━━━━ ⑦ سؤال يتعاود بزاف: نفس الإشارة تعني لا حل؟ ━━━━━━━━━━━━━━ لا، ما نقدرش نحكم بهذه المعلومة وحدها. مثال: h(x) = x² − 1 على [−2, 2]. h(−2) = 3. h(2) = 3. الصورتان موجبتان، لكن: h(−1) = 0 وh(1) = 0. إذن توجد حلول داخل المجال رغم أن صور الطرفين لهما نفس الإشارة. 📌 مبرهنة القيم المتوسطة تعطينا طريقة لإثبات وجود حل؛ إذا ما تحققش تبدّل الإشارة بين طرفين، ما يعنيش مباشرة أن الحل غير موجود. ━━━━━━━━━━━━━━ 📒 في دفتر الأخطاء، اكتب السبب: • نسيت مجموعة التعريف؟ • غلطت في الإشارة؟ • نسيت الأقواس؟ • خلطت بين معامل التوجيه والترتيبة؟ • أثبتّ الوجود ونسيت الوحدانية؟ 🎯 قبل الـCheckpoint، لازم تقدر: ✅ تشكّل جدول تغيّرات. ✅ تعيّن قيمة حدية. ✅ تكتب معادلة مماس. ✅ تدرس الوضع النسبي. ✅ تثبت وجود حل وحيد. ✅ تعطي حصرًا لهذا الحل. قاعدة د. وليد: تبع و بلع 👊🏻

🧮 OCTOBER MATHS 02 🎯 الاشتقاق، اتجاه التغيّر، المماس ومبرهنة القيم المتوسطة • نهار 02 أكتوبر راجعنا أساسيات الدوال. اليوم ننتقلو للتطبيق، خطوة بخطوة. ━━━━━━━━━━━━━━ ① من المشتقة إلى اتجاه التغيّر ━━━━━━━━━━━━━━ باش تدرس اتجاه تغيّر دالة f: تعيّن مجموعة تعريفها Df. تحسب الدالة المشتقة f′. تدرس إشارة f′. تستنتج اتجاه تغيّر f. تشكّل جدول تغيّراتها. 📌 على مجال: • إذا كانت f′ موجبة تمامًا، فإن f متزايدة تمامًا. • إذا كانت f′ سالبة تمامًا، فإن f متناقصة تمامًا. ✍️ مثال محلول: f(x) = x² + 3x + 1 أولًا — مجموعة التعريف: f دالة كثيرة حدود، إذن: Df = ℝ. ثانيًا — المشتقة: f′(x) = 2x + 3. ثالثًا — إشارة المشتقة: 2x + 3 = 0 ⇔ x = −3/2. • إذا x < −3/2، فإن f′(x) < 0. • إذا x = −3/2، فإن f′(x) = 0. • إذا x > −3/2، فإن f′(x) > 0. رابعًا — اتجاه التغيّر: • f متناقصة تمامًا على ]−∞, −3/2]. • f متزايدة تمامًا على [−3/2, +∞[. خامسًا — القيمة الصغرى: f(−3/2) = 9/4 − 9/2 + 1 = −5/4. إذن f تقبل قيمة صغرى تساوي −5/4، وتتحقق عند x = −3/2. 📌 ولإكمال جدول التغيّرات: lim f(x) = +∞ عندما x → −∞. lim f(x) = +∞ عندما x → +∞. في جدولك، الدالة تتناقص من +∞ إلى −5/4، ثم تتزايد إلى +∞. 💡 طريقة سريعة للتحقّق: f(x) = (x + 3/2)² − 5/4. بما أن المربع موجب أو معدوم: f(x) ≥ −5/4. وتتحقق المساواة عند x = −3/2. نفس النتيجة التي وجدناها بالاشتقاق ✅ ⚠️ تنبيه: انعدام المشتقة عند عدد لا يكفي وحده لإثبات وجود قيمة حدية. نراقب تغيّر إشارتها: • من − إلى +: قيمة صغرى. • من + إلى −: قيمة عظمى. ✍️ تطبيق مستقل: لتكن: u(x) = x² + x + 1. عيّن Du. احسب u′(x). ادرس إشارة u′. استنتج اتجاه تغيّر u. احسب قيمتها الصغرى. شكّل جدول تغيّراتها. ━━━━━━━━━━━━━━ ② إشارة الدالة ليست إشارة المشتقة ━━━━━━━━━━━━━━ 📌 إشارة f(x) تعطي الوضع بالنسبة لمحور الفواصل: • f(x) > 0: نقطة المنحنى فوق محور الفواصل. • f(x) < 0: نقطة المنحنى تحت محور الفواصل. • f(x) = 0: نقطة المنحنى على محور الفواصل. 📌 إشارة f′(x) نستعملها لدراسة اتجاه التغيّر. ✍️ مثال من الدالة السابقة: f(x) = x² + 3x + 1. عند x = −1: f(−1) = 1 − 3 + 1 = −1. f′(−1) = −2 + 3 = 1. إذن: • النقطة A(−1, −1) تحت محور الفواصل. • الدالة متزايدة تمامًا على المجال [−3/2, +∞[ الذي يحتوي −1. معناه الدالة تقدر تكون سالبة، وفي نفس الوقت متزايدة على مجال. ⚠️ ما تقولش: «f سالبة، إذن f متناقصة». ✍️ تطبيق فهم: احسب f(−2) وf′(−2). ثم ميّز بين: • موضع النقطة بالنسبة لمحور الفواصل. • اتجاه تغيّر الدالة على المجال الذي يحتوي −2. ━━━━━━━━━━━━━━ ③ تعيين معادلة المماس ━━━━━━━━━━━━━━ إذا كانت f قابلة للاشتقاق عند x₀، فإن معادلة المماس (T) للمنحنى (Cf) عند النقطة A(x₀, f(x₀)) هي: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀). 📌 x₀: فاصلة نقطة التماس. 📌 f(x₀): ترتيبة نقطة التماس. 📌 f′(x₀): معامل توجيه المماس. ✍️ مثال 1 — المماس عند x₀ = 0: f(0) = 1. f′(0) = 3. إذن: (T₀): y = 3(x − 0) + 1 أي: (T₀): y = 3x + 1. ✍️ مثال 2 — المماس عند x₀ = −1: f(−1) = −1. f′(−1) = 1. إذن: (T₁): y = 1(x + 1) − 1 أي: (T₁): y = x. ⚠️ الخطأ الشائع هنا: تنسى الأقواس وتكتب y = x − 1. لكن x − (−1) = x + 1. ✍️ مثال 3 — المماس الموازي لمحور الفواصل: المماس الموازي لمحور الفواصل معامل توجيهه معدوم. نحل: f′(x₀) = 0 ⇔ 2x₀ + 3 = 0 ⇔ x₀ = −3/2. وبما أن: f(−3/2) = −5/4، فمعادلة المماس هي: y = −5/4. 💡 تحقّق من جوابك: إذا وجدت y = ax + b، لازم: a = f′(x₀). f(x₀) = ax₀ + b. يعني معامل التوجيه صحيح، والمماس يمر بنقطة التماس. ✍️ تطبيق مستقل: للدالة u(x) = x² + x + 1: اكتب معادلة المماس عند x₀ = 0. اكتب معادلة المماس عند x₀ = 1. عيّن فاصلة المماس الموازي لمحور الفواصل، ثم اكتب معادلته. ━━━━━━━━━━━━━━ ④ دراسة الوضع النسبي للمنحنى والمماس ━━━━━━━━━━━━━━ باش نقارن المنحنى (Cf) بالمستقيم: (T): y = ax + b، ندرس إشارة الفرق: f(x) − (ax + b). • فرق موجب: (Cf) فوق (T). • فرق سالب: (Cf) تحت (T). • فرق معدوم: نقطة مشتركة. ✍️ مثال محلول: f(x) = x² + 3x + 1. (T₀): y = 3x + 1. نحسب: f(x) − (3x + 1) = x² + 3x + 1 − 3x − 1 = x². • x² > 0 إذا x ≠ 0. • x² = 0 إذا x = 0. إذن (Cf) فوق (T₀) على ]−∞, 0[ و]0, +∞[. ويتلامسان عند A(0, 1). ⚠️ ندرس الفرق كاملًا بالأقواس، ماشي f(x) − ax + b. ✍️ تطبيق مستقل: ادرس الوضع النسبي للمنحنى (Cf) والمماس: (T₁): y = x.

🌙 قبل ما تغمض عينيك… 🤍 اللهم أرح قلبي من كل همّ، وأبعد عني كل حزن، واغفر لي ما مضى، وبارك لي فيما هو آتٍ. اللهم لا تجعل في قلبي خوفًا إلا بدّلته أمانًا، ولا ضيقًا إلا جعلت بعده فرجًا. 🤲 اللهم اجعل ليلتنا سكينة، وصباحنا بشارة خير. تصبحون على خير يا جيش الدكتور وليد 🤍

قاعدة د. وليد في سؤال استخراج أثر العقيدة: اقرأ السند ← حدد القرينة ← استخرج الأثر ← صنفه ← اكتب الشاهد. لا تجعل الحفظ وحده يقود إجابتك. 🫟 MASSAR BEMAC | BAC 2027🫟