Математические байки

Кстати, если вы читаете по-французски — очень интересно Ламберта читать. Удивительным образом, всё понятно — но постоянно сбивает с толку очень "вытянутое" написание буквы "s", в результате она кажется похожей на "f". Вот, например, в разложениях для синуса и косинуса:

Собственно, переход, о котором я говорил выше, в основном связан с переходом от цепной дроби для x к цепной дроби для 2x — который прост, но неочевиден. Но к этому мы вернёмся потом...

и формулу для цепной дроби для числа, связанного с e:

Да — не могу не вставить сюда формулы из исходного мемуара Ламберта, http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/lambert-et-l-irrationalite-de-p-1761 — разложение для тангенса

И не совсем мгновенно, но не очень сложно перейти от (e-1)/(e+1) к цепной дроби для собственно e. Которая за счёт этого перехода немного меняется и в дополнение к арифметической прогрессии (со вдвое меньшей разностью) начинает "заикаться единицами": e= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,...]

И вот мы получили цепную дробь если не для e, то для связанного с ним числа, (e-1)/(e+1).

С другой, мы получаем (если верить в сходимость) самую настоящую, классическую цепную дробь — ведь элементы (2k+1)/x-то уже все натуральные:

С одной стороны, результат нам интересен:

А теперь внимание, трюк. Подставим x=1/2:

Можно повторить те же выкладки (и опять угадать ответ), а можно сказать, что tanh x = i tg (x/i), и подставив это в предыдущее разложение, увидеть, что просто знаки перед дробями поменяются:

Теперь нам осталось сделать две вещи: 1) доказать это разложение (что мы отложим напоследок) и 2) понять, какое же отношение оно имеет к иррациональности π. Но даже прежде, чем всё это сделать — давайте "уйдём в радиалку" и вместо функции "тангенс" посмотрим на функцию "тангенс гиперболический".

Итак, вне зависимости от собственно иррациональности числа π, с которой мы начинали, мы (пока чисто экспериментально) обнаружили замечательный факт: функция тангенс очень красиво разлагается в цепную дробь.

Первые три элемента цепной дроби выглядят достаточно заманчиво, чтобы посчитать следующий. И действительно —