Математические байки

Перевернув, получаем (-3/x). Продолжая в том же духе — а это, в каком-то смысле, чисто механическая деятельность — находим первые несколько членов разложения (не касаясь пока вопроса его сходимости):

Итак, функция tg x уже "маленькая": tg x = x + x^3/3+ ... ; перевернём её. Получается котангенс. ctg x при x->0 "взрывается" как 1/x; вычтем и посмотрим, что останется: ctg x - 1/x = -x/3 + ... ; (упражнение — проверьте!).

Так вот, давайте применим алгоритм разложения к функции f(x)=tg x. Почему? Ну точно так же, как в ряд Тейлора, когда он придуман, имеет смысл пытаться раскладывать всё подряд — вдруг где что красивое попадётся, — и запоминать удачные результаты, точно так же почему бы в цепную дробь не пораскладывать всё подряд, например, тангенс?

Да, пока я не убежал вперёд — если вдруг вы не видели брошюру В. И. Арнольда "Цепные дроби", https://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/#book-14 — то я очень советую её посмотреть!

Так вот, давайте работать с функциями, определёнными (и "хорошими"-аналитическими) в окрестности точки x=0. В роли целых чисел как чего-то "большого" выступит кольцо R[1/x] многочленов от (1/x). А в роли "маленького" множества A — функции, обращающиеся в точке x=0 в ноль.

А именно: как устроено обычное разложение в цепную дробь? Есть "большие и дискретные" целые числа Z, и есть "маленькие" числа — полуинтервал A=[0,1). Берём какое-то начальное число, вычитанием элемента из Z приносим его на A, "переворачиваем" применением 1/x, и так повторяем много-много раз.

Эта идея — "давайте разложим тангенс в цепную дробь". И да, в цепные дроби можно раскладывать не только числа, но и функции.

Вот. Это доказательство короткое и хорошее — но его сложно придумать "с нуля". А есть исторически первое доказательство Ламберта, придуманное в 1760-е (и, собственно, ради него я эту байку и рассказываю). В котором есть одна идея — но смысловая — и из которого много что ещё получается.

А с другой стороны, при n, стремящемся к бесконечности, факториал в знаменателе забивает экспоненту в числителе. Поэтому подынтегральная функция равномерно стремится к 0. И при достаточно большом n значение интеграла одновременно целое и заключено между 0 и 1. Противоречие.

Потому что в числителе функции f стоят n-е степени обращающихся в ноль на концах отрезка функций. Поэтому, чтобы получить ненулевой вклад в F(.) в каком-нибудь из концов отрезка (x=0 или x=π=a/b), нужно соответствующую функцию (x или a-bx соответственно) "додифференцировать" до нулевой степени. Но тогда n! в знаменателе исчезает.

И этот интеграл тем самым оказывается целым!

С одной стороны, интеграл считается явно — кучей-кучей интегрирования по частям (как и любой интеграл от произведения многочлена на экспоненту). Получим F(0)+F(π), где F(x)=f(x)-f''(x)+f''''(x) - ... . Потому что первообразная будет -F(x) cos x +G(x) sin x, где в G собраны нечётные производные f (тем самым, G=F', но это неважно) — но синус в 0 и π обращается в ноль, так что для определённого интеграла по [0,π] второе слагаемое роли не играет.

Умножим эту функцию на sin x и по [0,π] проинтегрируем. Что получится?

А именно — пусть π=a/b. Давайте возьмём какое-нибудь натуральное n и посмотрим на функцию f(x)=x^n (a-bx)^n / n!

Первое доказательство — то, которое чаще всего рассказывается в университете. Оно довольно короткое, но начинается с действия, которое нужно запомнить (и этим мне не очень нравится).

Сегодня Pi Day (потому что 3/14), так что сегодняшняя байка будет посвящена числу π — но не только. А именно — как все знают, π иррационально и даже трансцендентно. И вот доказательства его иррациональности я хочу обсудить.

Дорогие читатели, вас уже больше тысячи, и это безумно приятно; спасибо вам! Ещё — Григорий Мерзон выложил зеркало-архив этого канала за 2019 год, с оглавлением для упрощения навигации, и за это ему большое спасибо! Так что теперь можно посмотреть первые байки без мучительного листания назад: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/