Математические байки

Золотарёв известен в том числе своим простым доказательством квадратичного закона взаимности. Статья Прасолова в МатПросе об этом. Идея простая — 1) символ Лежандра (a/p) выражается как чётность перестановки x->ax на множестве остатков по модулю p. 2) на множестве пар (a,b) остатков по модулям p,q делается подстановка a+pb->qa+b (по китайской теореме об остатках пары остатков это то же самое что остатки по модулю pq). 3) эта подстановка является композицией (a,b)->(a,pb), (a,b)->(qa,b). Поэтому её знак равен (p/q)(q/p). 4) с другой стороны, можно явно посчитать её знак (см картинку). А вот связь квадратичного закона взаимности с зацеплением узлов (для тех кто в танке тополог)

Кстати, теперь мы на этой фотографии на центральной доске узнаём и выражение A(x,q) во второй строчке. 🙂 И на этом я на сегодня прекращаю дозволенные речи.

Кстати — вот это же тождество в обзоре Пака; этот вид как раз симметричный — и отличается от выписанного заменой q на q^{1/2} (иными словами, удвоением/делением пополам энергии).

И это и есть то самое тождество, которое мы хотели получить!

А в несимметричном-целочисленном —

Итого — та же самая производящая функция равна в симметричном-полуцелом случае

И давайте я тут выложу кадр из видеозаписи курса "Полубесконечная внешняя степень" М. Берштейна в ЛШСМ-2014:

А когда Q уже известен — то любое состояние из состояния с данным зарядом и наименьшей энергией (данного заряда) получается чередой сдвигов частиц на одно состояние вперёд — и способов добавить ещё n единиц энергии как раз p(n), число разбиений n, ибо они индексируются диаграммами Юнга (вне зависимости от значения Q!)

Но можно считать и по-другому — сначала спросить, "а какой у нас полный заряд Q?". И тогда — состояние с наименьшей энергией при данном заряде Q это, опять же, "все слева от Q занято, всё справа от Q свободно". И его энергия равна — в "симметричном полуцелом" варианте 1/2 + 3/2 + ... + (2Q-1)/2 = Q^2/2, а в несимметричном целочисленном — 1 + 2 + ... + Q = Q(Q+1)/2 (если Q отрицательно, то нужно частицы убирать — но правые части всё ещё дают правильный ответ).

Первая скобка приходит из добавления частиц на каждый свободный уровень j, а вторая — из их убирания с занятых уровней -(j-1).

А если бы мы тут с самого начала пожертвовали симметрией частиц и античастиц и сказали бы, что энергетические состояния это целые числа (а не полуцелые), и заняты в режиме вакуума отрицательные и ноль, а положительные свободны — то получилось бы совсем то, что мы хотели:

С одной стороны, можно вычислять эту производящую функцию, работая с каждым энергетическим уровнем по отдельности. Положительный уровень (2j-1)/2 можно не тронуть — а можно в него добавить частицу; +1 к заряду Q (потому что мы его в частицах считаем; иначе, если бы я сказал "электрон", нужно было бы вычитать 1), и +(2j-1)/2 к энергии. Отрицательный уровень -(2j-1)/2 можно не тронуть — а можно из него убрать частицу; -1 к заряду Q (потому что мы его в частицах считаем; иначе, если бы я сказал "электрон", нужно было бы добавлять 1), и +(2j-1)/2 к энергии (опять с плюсом — потому что мы убираем частицу с отрицательной энергией). Итого — производящая функция это вот такое произведение:

А теперь посмотрим на состояния, отличающиеся от вакуумного лишь в конечном числе мест. У них есть две характеристики — энергия E и полный заряд Q (который мы будем считать в "штуках частиц", то есть добавление частицы его увеличивает, а не уменьшает). (Состояния, отличающиеся в бесконечном числе мест, будут с бесконечной энергией — так что не рассматривать их вполне логично.) Так давайте составим производящую функцию у этой пары характеристик — просуммируем x^Q*q^E по всем допустимым состояниям. Что получится?

Хорошо, а при чём всё-таки тут тройное произведение? Рассмотрим модельную ситуацию — пусть у нас разрешённые энергии это все полуцелые числа. И рассмотрим "вакуумное состояние", когда все состояния с отрицательной энергией заняты, а с положительной — свободны: