𝑴𝒂𝒕𝒉𝒆𝒎𝒂𝒕𝒊𝒄𝒔 𝒄𝒉𝒂𝒍𝒍𝒆𝒏𝒈𝒔!

با عرض معذرت از همه عزیزان یک اصلاحی باید روی این انجام بشه مورد دومی باید توان بشه k+1 یعنی زیگما درسته ولی عبارت جلوییش باید بشه k+1 ممنون از تذکر استاد @Beyki1365math

اصلاحی: باید یک پرانتز بذاریم وگرنه از لحاظ تعریف به مشکل می خوریم (x^2)^sinx

تعریف تابع فرد: اگر برای هر x عضو دامنه f داشته باشیم f(-x) = - f(x) آنگاه f تابعی فرد است. تعریف تابع زوج: اگر برای هر x عضو دامنه f داشته باشیم f(-x) = f(x) آنگاه f تابعی زوج است. http://t.me/mathchalenging

مثلا این انتگرال تابع اولیه ابدا نداره ولی با این کلک و تغییر متغیر x = -u به راحتی میشه حلش کرد. http://t.me/mathchalenging

یک ویژگی منحصر به فرد توابع زوج و فرد که در انتگرال گیری روی بازه های متقارن، خیلی کمک کنندس http://t.me/mathchalenging

با این تعریف که مال کتاب نظام قدیم حسابانه، چقدر موافقید؟ http://t.me/mathchalenging

وجهه های مختلف توانایی های ریاضی من توانایی های ریاضی افراد رو در این موارد دسته بندی می کنیم: ۱. قدرت حل مسئله ۲. دانش ریاضی و آشنایی با شاخه های مختلف ۳. داشتن دید ریاضی؛ چیزی که در معدود افراد وجود داره؛ خودم هنوز نتونستم بهش برسم. سیستم آموزشی ما اکثرا روی قدرت حل مسئله استوار بوده و این خوب فقط یک وجهه از ریاضیات رو شکل میده. تا دلتون بخواد آدم هایی دیدم که قدرت حل مسئله بالایی داشتن ولی دانش ریاضی کافی یا دید ریاضی درست نداشتن! خیلی راه دور هم نیاز نیست بریم. و این اصلا خوب نیست! یه خاطره تعریف کنم: سال پیش یادمه اولین جلسه معادلات دیفرانسیل استاد اومد سر کلاس، گفت: تعریف مشتق چیه؟ جمله معروف همه: استاد میشه شیب خط مماس بر نمودار دیگه! استاد گفت: آخه این چه تعریفیه از مشتق تو ذهنتون دارید؟ یک تعریف کاملا هتدسی و محدود! بابا شما قراره کارآفرین بشید! قراره یه کاره ای بشید! اگر اینجوری مفاهیم تو ذهنتون بره، تهش میشید یه نفر که خوب تست و سوال حل می کنه! آقا مشتق مثل یه متره! متری که برات تغییرات رو در لحظه اندازه می گیره! و یه جمله ای داشت همیشه: شما تا زمانی که دید ریاضی درستی نداشته باشید؛ مهندس خوبی نمی شید! اگر می بینید غرب پیشرفت کرده انقدر تو هر جای علم، دلیلش دقیقا همینه! اونا دید دادن به دانش آموزا و دانشجو هاشون. http://t.me/mathchalenging

ترکیبی از ترکیبیات، حسابان و ریاضی عمومی یک😀 حدود یک سال پیش ریاضی عمومی یک رو تو دانشگاه امیرکبیر پاس کردم که واقعا هم استاد خوبی داشتم و هم خیلی درس جالبی بود. دیگه از مطالبش جز انتگرال فاصله گرفته بودم که حدودای ماه آبان با یک جا قرارداد بستم برای ساخت یک سری آموزشی برای ریاضی عمومی یک از فصل دنباله و سری و مشتق. به همین جهت دوباره یک تورقی روی جزوه ها کردم و همین تورق کلی برام مفید واقع باشد. در ریاضی عمومی یک شما با مفهومی به نام سری توانی آشنا می شید. سری توانی به شکل یه زیگمای بینهایته: Σan x^n که an یه دنبالس (دنباله در معنای عام میشه یک رشته عدد نه الزاما حسابی و هندسی) و n یک عدد حسابی از صفر تا بینهایته. یکی از سری توانی های مشهور، این سریه Σ x^n (0=< n <♾️) که بهش سری هندسی گفته میشه چون اینجا شما داری توان های مختلف x رو که یه دنباله هندسی با قدر نسبت n تشکیل میدن می سازی. تو فصل یک حسابان یک شما قطعا مجموع دنباله هندسی رو خوندید: 1 + x + x² + x³ + ... + x^n = 1-x^(n+1)/1-x حالا اینجام همینه! فقط چون n داره میره به سمت بینهایت، سری توانی جوابش به شکل یه حد در میاد: Σ x^n (0=< n <♾️) = lim 1-x^(n+1)/1-x n-->♾️ حالا اینجا اگر قواعد فصل سوم حسابان دو رو به کار ببرید برای حد تو بینهایت، به راحتی میتونید نتیجه بگیرید که سری توانی هندسی جوابش در حالتی که |x| < 1 باشه میشه Σ x^n (0=< n <♾️) = 1/1-x آقا! خیلی این چیز مهمیه! الان شما یه سری که تکلیفش مشخص نیست، تعداد جملاتش بی نهایته رو به صورت تابع کردی! فقط حواست هست تابعت دامنش منفی یک تا یکه. حالا تازه جایی جالب میشه داستان که میایم از طرفین مشتق میگیریم و با یک تغییر توی ظاهر n این چنین میشه سریمون: Σ (n+1)x^n (0=< n <♾️) = -1/(1-x)² که اگر دقت کنید ضرایب پشت x، همه عدد طبیعی های مختلف هستن. تو تلگرام خیلی چنین سوالی رو میبینی. مثلا زده حاصل عبارت زیر چنده: Σ (n+1)(1/2)^n (0=< n <♾️) شما دیگه الان منطق حل اینو فهمیدی! به تابع -1/(1-x)² میدی 1/2، میشه جواب این سوال جالب! (حواست هست که اینجا میتونی اینکار رو کنی چون |1/2| < 1 ها! ما وقتی تابع اصلیه رو توی یه دامنه خاص انداختیم که بهش میگن همگرایی سری، تونستیم چنین کاری کنیم.) موضوع به اینجا ختم نمیشه! با ادامه دادن روند مشتق گیری، یه رابطه کلی تری تولید میشه که عکسش رو برات گذاشتم همراه این متن. در واقع تمام این سری های توانی که ضرایبشون یه نظم خاصی دارن و یه الگوی خاصی تولید میکنن رو بهشون میگن تابع مولد که توی ترکیبیات و مباحث المپیاد میخونن. عرشیا که میدونم خیلی ترکیبیات دوست داره پارسال داشت روی این توابع مولد کار می‌کرد. http://t.me/mathchalenging

میدونم که حوصله خوندن متن بلند رو ندارید ولی توصیه میکنم حتما این متن رو بخونید، شما رو با دنیای جالب و زیبای توابع مولد تا حد خیلی ابتدایی آشنا میکنه👇

آقا امروز یه چیز جالبی دیدم گفتم بیام اینجا هم توضیحش بدم!

حدودا ۴ ماه پیش، این ویس رو برای آموزش حل یک دسته از سوالات معادله براکتی اینجا گذاشتم. امشب دوباره یک‌جایی بودم که همین مسئله پیش اومد، گفتم دوباره بفرستم برای اونایی که این ویس رو گوش ندادن. خیلی مفید و کاربردیه.👇

یک سوال دیگه که با سواد ریاضیات عمومی و معادلات دیفرانسیل حل میشه. ترکیبی از سواد دوازدهم، ریاضی عمومی یک و معادلات دیفرانسیل(البته خیلی کم) امیدوارم خوشتون بیاد http://t.me/mathchalenging

یک تشابه دیگه یا سوالات سال ۱۳۸۵ اینجا البته امسال برد تو سختی! http://t.me/mathchalenging

یکی از سوالات خوب این آزمون، سوال ۱۶ بود. معدود دفعاتی که به نوعی (البته خیلی ضعیف) از نظریه بازی سوال داده شده بود. اکثر افراد ممکن بود در ابتدای حل این سوال فکر کنن که استراتژی بازیکن علی بردنه؛ در صورتی که اگر سوال رو خوب می خوندین اتفاقا علی قصدش بردن نبود. http://t.me/mathchalenging

مشابهت دو تا از سوالات المپیاد، به فاصله ۱۸ سال البته مال سال ۱۳۸۵ واقعا سخت تر بود👍 http://t.me/mathchalenging

اولین جایی که این سوتی رو کشف کرد ما بودیم😂